Πήγαινε σε

Βιβλιο IV.

Οροι.

Όρισμός 1 διάγραμμα

I.

Ένα ευθυγραμμο σχήμα λέμε ότι είναι εγγεγραμμένο σε άλλο ευθύγραμμο σχήμα, όταν κάθε κορυφή του ανήκει σε μία πλευρά του άλλου σχήματος.

II.

Ένα ευθύγραμμο σχημα λέμε ότι είναι περιγεγραμμένο σε άλλο ευθύγραμμο σχήμα, όταν κάθε πλευρά του περιέχει κορυφή του άλλου σχήματος.

Όρισμός 3 διάγραμμα

III.

Ένα ευθυγραμμο σχήμα λέμε ότι είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο, όταν κάθε κορυφή του είναι σημείο του κύκλου.

Όρισμός 4 διάγραμμα

IV.

Ένα ευθυγραμμο σχήμα λέμε ότι είναι περιγεγραμμένο περί κύκλο, όταν κάθε πλευρά του εφάπτεται στον κύκλο.

Όρισμός 5 διάγραμμα

V.

Ένας κυκλος λέμε ότι είναι εγγεγραμμένος σε σχήμα, όταν εφάπτεται σε κάθε πλευρά του σχήματος.

Όρισμός 6 διάγραμμα

VI.

Ένας κυκλος λέμε ότι είναι περιγεγραμμένος σε σχήμα, όταν διέρχεται από κάθε κορυφή του σχήματος.

Triangle είναι εγγεγραμμένο.

Όρισμός 7 διάγραμμα

VII.

Ένα ευθυγραμμο σχήμα λέμε ότι είναι χορδή του κύκλου, όταν τα άκρα του βρίσκονται πάνω στον κύκλο.

Το τέταρτο βιβλίο των Στοιχείων ασχολείται με τη λύση προβλημάτων που κυρίως έχουν να κάνουν με εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα κανονικά πολύγωνα και κύκλους.

Ένα κανονικό πολύγωνο είναι αυτό στο οποίο όλες οι γωνίες και οι πλευρές του είναι ίσες.

Προταση I. Προβλημα.

Πρόταση 1 διάγραμμα

Αν δοθούν κύκλος Yellow circle και ευθύγραμμο τμήμα μικρότερο ή ίσο από τη διάμετρο του κύκλου (Blue line), να κατασκευαστεί χορδή του κύκλου ίση προς το δοθέν ευθύγραμμο τμήμα.

Φέρτε την Dotted red and red line , την διάμετρο του Yellow circle·
και εάν η Dotted red and red line = Blue line, τότε
το πρόβλημα λύθηκε.

Αλλά εάν η Dotted red and red line δεν είναι ίση με την Blue line,
έστω Dotted red and red line > Blue line (εξ υπόθ.)
κατασκευάστε την Red dotted line = Blue line (Β.1.πρ.3.)
με την Red dotted line ακτίνα,
περιγράψτε τον Blue circle, που τέμνει τον Yellow circle, και
φέρτε την Yellow line, που είναι η ευθεία που χρειάζεται.
Διότι, η Yellow line = Red dotted line = Blue line (Β.1.ορ.15. εκ κατάσκ.)

Ο. Ε. Π.

Προταση II. Προβλημα.

Πρόταση 2 διάγραμμα

Εις δοθέντα κύκλο Black circle να εγγραφεί τρίγωνο ισογώνιο με δοθέν τρίγωνο.

Σε τυχαίο σημείο στον δεδομένο κύκλο φέρτε την εφαπτομένη Red line, (Β.3.πρ.17.), και στο σημείο τομής
κάντε την Left blue angle = Right blue angle (Β.1.πρ.23.)
και με τον ίδιο τρόπο Left yellow angle = Right yellow angle , και φέρτε την Yellow line.

Επειδή Left blue angle = Right blue angle (εκ κατάσκ.)
και Left blue angle = Black angle (Β.3.πρ.32)
∴ Black angle = Right blue angle · επίσης
Outlined angle angle = Right yellow angle για τον ίδιο λόγο.
∴ Left red angle = Right red angle (Β.3.πρ.32),

επομένως το εγγεγραμμένο τρίγωνο είναι ισογώνιο με το δοθέν.

Ο. Ε. Π.

Προταση III. Προβλημα.

Πρόταση 3 διάγραμμα

Εις δοθέντα κύκλο Red circle να περιγραφεί τρίγωνο ισογώνιο με δοθέν τρίγωνο.

Προεκτείνετε οποιαδήποτε πλευρά Black line, του δεδομένου τριγώνου και απ’ τις δύο άκρες· από το κέντρο του δεδομένου κύκλου φέρτε μια τυχούσα ακτίνα Red line.

Κατασκευάστε την Right yellow angle = Left yellow angle (Β.1.πρ.23.) και την Right blue angle = Left blue angle .
Στα άκρα των τριών ακτίνων, φέρτε τις Blue line, Yellow line και Red dotted line, εφαπτόμενες στον κύκλο. (Β.3.πρ.17.)

Οι τέσσερις γωνίες του Quadrilateral , αθροιστικά, ισούνται με τέσσερις ορθές. (Β.1.πρ.32.)
αλλά οι Bottom right black angle και Top right black angle είναι ορθές (εκ κατάσκ.)
∴ Right red angle + Right yellow angle = Two right angles , δύο ορθές
αλλά Left yellow and red angles = Two right angles (Β.1.πρ.13.)
και η Right yellow angle = Left yellow angle (εκ κατάσκ.)
και ∴ Right red angle = Left red angle .

Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι
Right outlined angle = Left outlined angle ·
∴ Right red, black, and blue angles = Left red, black, and blue angles (Β.1.πρ.32.)
και επομένως το περιγεγραμμένο τρίγωνο είναι ισογώνιο με το δοθέν.

Ο. Ε. Π.

Προταση IV. Προβλημα.

Πρόταση 4 διάγραμμα

Εις δοθέν τρίγωνο Outer triangle να εγγραφεί κύκλος.

Διχοτομείστε τις Blue and yellow angles και Black and outlined angles (Β.1.πρ.9.) φέρνοντας τις διχοτόμους Blue dotted line και Blue line· από το σημείο τομής τους φέρτε τις Black dotted line, Yellow dotted line και Red dotted line κάθετες αντίστοιχα στις Black line, Yellow line και Red line.

Στα τρίγωνα Bottom left triangle και Top left triangle
Yellow angle = Blue angle , Bottom red angle = Top red angle και η Blue dotted line είναι κοινή,
∴ Yellow dotted line = Black dotted line (Β.1.πρ.4 και 26.)

Με ίδιο τρόπο μπορεί επίσης να αποδειχτεί ότι
ότι Red dotted line = Black dotted line,
∴ Black dotted line = Yellow dotted line = Red dotted line·
επομένως, με οποιαδήποτε από αυτά τα τμήματα ως ακτίνα, γράψτε τον Black circle
που θα περάσει από τα άκρα των άλλων δύο τμημάτων·

και οι πλευρές του τριγώνου αυτού, καθώς είναι κάθετες στις τρεις ακτίνες στα άκρα τους, θα εφάπτονται του κύκλου (Β.3.πρ.16.), ο οποίος είναι επομένως εγγεγραμμένος στο δοθέν τρίγωνο.

Ο. Ε. Π.

Προταση V. Προβλημα.

Πρόταση 5 διάγραμμα
Πρόταση 5 διάγραμμα
Πρόταση 5 διάγραμμα

Να περιγραφεί κύκλος περί δοθέντος τριγώνου.

Κατασκευάστε την Blue line = Blue dotted line και την Red line = Red dotted line (Β.1.πρ.10.). Από τα σημεία τομής φέρτε τις Yellow line και Yellow dotted line ⊥ στις Blue line και Red line αντίστοιχα (Β.1.πρ.11.), και από τα σημεία τομής φέρτε τις Black line, Black dotted line και Black thin line και γράψτε κύκλο με ακτίνα οποιαδήποτε από αυτές, και αυτός θα είναι ο ζητούμενος κύκλος.

Στα Triangle with black angle και Triangle with red angle
Blue dotted line = Blue line (εκ κατάσκ.),
η Yellow line είναι κοινή,
Black angle = Red angle (εκ κατάσκ.),
∴ Black line = Black dotted line (Β.1.πρ.4.).

Με όμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι
Black thin line = Black dotted line.

∴ Black dotted line = Black line = Black thin line και επομένως ο κύκλος που έχει γραφτεί με κέντρο το σημείο τομής αυτών των τριών τμημάτων με οποιαδήποτε από αυτές ως ακτίνα, θα είναι περιγεγραμμένος στο δοθέν τρίγωνο.

Ο. Ε. Π.

Προταση VI. Προβλημα.

Πρόταση 6 διάγραμμα

Εις δοθέντα κύκλο Red circle να εγγραφεί τετράγωνο.

Κατασκευάστε δύο διαμέτρους του κύκλου ⊥ η μία στην άλλη, και φέρτε τις Yellow line, Black line, Red line και Blue line

το Square είναι τετράγωνο.

Διότι, εφόσον η Yellow angle και Black angle βαίνουν σε
διαμέτρους είναι ορθές (Β.3.πρ.31),
∴ Blue line ∥ Black line (Β.1.πρ.28)
και ομοίως Red line ∥ Yellow line.

και επειδή η Blue angle = Red angle (εκ κατάσκ.), και
Red dotted line = Black dotted line = Blue dotted line (Β.1.ορ.15).
∴ Black line = Red line (Β.1.πρ.4)

και καθώς οι διαδοχικές πλευρές και γωνίες του παραλληλόγραμμου Square είναι ίσες, θα είναι όλες ίσες (Β.1.πρ.34)· και ∴ το Square , εγγεγραμμένο στον δοθέντα κύκλο είναι τετράγωνο.

Ο. Ε. Π.

Πρόταση VII. Προβλημα.

Προταση 7 διάγραμμα

Να περιγραφεί τετράγωνο περί δοθέντa κύκλου Blue circle.

Κατασκευάστε δύο διαμέτρους του δοθέντα κύκλου κάθετες η μία στην άλλη, και από τα άκρα τους φέρτε Blue line, Red line, Black line, και Yellow line εφαπτόμενες στον κύκλο·

Το Square θα είναι τετράγωνο.

Η Yellow angle = Right angle ορθή, (Β.3.πρ.18.)
Και επίσης Black angle = Right angle (εκ κατάσκ.),

∴ Blue line ∥ Blue dotted line με όμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι η Black line ∥ Blue dotted line, και επίσης ότι Red line και η Yellow line ∥ Red dotted line·

∴ το Square είναι παραλληλόγραμμο, και
επειδή Yellow angle = Top left red angle = Top right red angle = Bottom right red angle = Bottom left red angle
είναι όλες ορθές (Β.1.πρ.34):
είναι επίσης προφανές ότι οι Blue line, Red line, Black line και Yellow line είναι ίσες.

∴ το Square είναι τετράγωνο.

Ο. Ε. Π.

Προταση VIII. Προβλημα.

Πρόταση 8 διάγραμμα

Εις δοθέν τετράγωνο να εγγραφεί κύκλος.

Κάντε την Blue line = Blue dotted line,
και την Red line = Red dotted line,
φέρτε την Dotted yellow and yellow line ∥ Blue and dotted blue line ,
και την Dotted black and black line ∥ Dotted red and red line
(Β.1.πρ.31.)

∴ το Black square είναι παραλληλόγραμμο·
και εφόσον Blue and dotted blue line = Dotted red and red line (εξ υπόθ.)
Blue line = Red dotted line

∴ το Black square είναι ισόπλευρο (Β.1.πρ.34.)

Με όμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι
Blue square = Red square είναι ισόπλευρα παραλληλόγραμμα
∴ Black dotted line = Yellow dotted line = Black line = Yellow line,

και επομένως εάν γραφεί κύκλος από την τομή αυτών των τμημάτων με οποιοδήποτε από αυτά ως ακτίνα, αυτός θα είναι εγγεγραμμένος στο δοθέν τετράγωνο. (Β.3.πρ.16.)

Ο. Ε. Π.

Προταση IX. Προβλημα.

Πρόταση 9 διάγραμμα

Να περιγραφεί κύκλος περί δοθέντος τετραγώνου Red and yellow square .

Φέρτε τις διαγωνίους Blue and dotted blue line και Black and dotted black line οι οποίες τέμνονται· κατόπιν,

επειδή τα Red triangle και Yellow triangle έχουν
τις πλευρές τους ίσες, και τη βάση τους
Blue and dotted blue line κοινή,
Yellow angle = Black angle (Β.1.πρ.8)
οπότε η Yellow and black angle έχει διχοτομηθεί· με όμοιο τρόπο μπορεί να δειχτεί
ότι η Red and blue angle έχει διχοτομηθεί·
αλλά Yellow and black angle = Red and blue angle ,
οπότε και τα μισά τους Black angle = Red angle ,
∴ Black line = Blue line· (Β.1.πρ.6)
και με όμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι
Blue line = Black line = Black dotted line = Blue dotted line.

Εάν από την τομή αυτών των ευθειών και με οποιαδήποτε από αυτές ως ακτίνα γραφεί κύκλος, αυτός θα είναι περιγεγραμμένος στο δοθέν τετράγωνο.

Ο. Ε. Π.

Προταση X. Προβλημα.

Πρόταση 10 διάγραμμα

Να κατασκευαστεί ισοσκελές τρίγωνο, του οποίου η γωνία της βάσης να είναι διπλάσια από την γωνία της κορυφής του.

Πάρτε οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα Black and dotted black line και διαιρέστε το έτσι ώστε
Black and dotted black line × Black dotted line = Black line2 (Β.2.πρ.11.)

με την Black and dotted black line ως ακτίνα, γράψτε τον κύκλο Red circle και κατασκευάστε χορδή
από το άκρο της ακτίνας, Blue line = Black line, (Β.4.πρ.1.)· φέρτε την Yellow line.

Το Large triangle θα είναι το ζητούμενο τρίγωνο.

Διότι, φέρτε την Red line και περιγράψτε
τον Blue circle περί του Left triangle (Β.4.πρ.5)

εφόσον Black and dotted black line × Black dotted line = Black line2 = Blue line2,
∴ η Blue line είναι εφαπτόμενη στον Blue circle (Β.3.πρ.37.)
∴ Yellow angle = Outlined angle (Β.3.πρ.32),
προσθέστε Black angle στην κάθε μία,
∴ Yellow angle + Black angle = Outlined angle + Black angle ·
αλλά Black angle + Yellow angle or Black and yellow angle = Red angle (Β.1.πρ.5.):
εφόσον Yellow line = Black and dotted black line (Β.1.πρ.5.)
επομένως Red angle = Outlined angle + Black angle = Blue angle (Β.1.πρ.32.)
∴ Red line = Blue line (Β.1.πρ.6.)
∴ Blue line = Black line = Red line (εκ κατάσκ.)
∴ Outlined angle = Black angle (Β.1.πρ.5.)

∴ Red angle = Black and yellow angle = Blue angle = Outlined angle + Black angle = 2 φορές η Outlined angle · και επομένως κάθε γωνία της βάσης είναι διπλάσια της γωνίας στην κορυφή.

Ο. Ε. Π.

Προταση XI. Προβλημα.

Πρόταση 11 διάγραμμα

Εις δοθέντα κύκλο Blue circle να εγγραφεί πεντάγωνο ισόπλευρο και ισογώνιο.

Κατασκευάστε ένα ισοσκελές τρίγωνο στο οποίο οι γωνίες της βάσης είναι διπλάσιες από την γωνία της κορυφής, και εγγράψτε τρίγωνο ισογώνιο με αυτό Triangle στον δοθέντα κύκλο (Β.4.πρ.2).

Διχοτομείστε τις γωνίες Yellow and blue angle και Outlined and red angle (Β.1.πρ.9),
φέρτε τις Red line, Blue line, Yellow line και Red dotted line.

Επειδή όλες οι γωνίες
Yellow angle , Blue angle , Black angle , Red angle και Outlined angle είναι ίσες,

τα τόξα στα οποία βαίνουν είναι ίσα (Β.3.πρ.26) και ∴ τα τμήματα Black line, Red line, Blue line, Yellow line και Red dotted line που είναι χορδές αυτών των τόξων, είναι ίσα και ∴ το πεντάγωνο είναι ισόπλευρο και επίσης είναι ισογώνιο επειδή όλες οι γωνίες του βαίνουν σε ίσα τόξα. (Β.3.πρ.27).

Ο. Ε. Π.

Προταση XII. Προβλημα.

Πρόταση 12 διάγραμμα

Να περιγραφεί πεντάγωνο ισόπλευρο και ισογώνιο περί δοθέντα κύκλου Red circle.

Φέρετε τις πέντε εφαπτομένες που διέρχονται από τις κορυφές κανονικού πενταγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο Red circle (Β.3.πρ.17).

Αυτές οι πέντε εφαπτομένες θα σχηματίσουν το ζητούμενο πεντάγωνο.

Φέρτε τις { Red dotted line Blue line Black dotted line Yellow dotted line } . Στα Left triangle και Right triangle
Black line = Red line (Β.1.πρ.47),
Black dotted line = Red dotted line, και η Blue line είναι κοινή·
∴ Right outlined angle = Left black angle και Left red angle = Yellow angle (Β.1.πρ.8.)
∴ Yellow outlined and black angle = διπλάσια της Left black angle , και η Red and yellow angle = διπλάσια της Yellow angle ;

Με όμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι
Black outlined and black angle = δύο φορές η Right black angle , και η Blue and red angle = δύο φορές η Blue angle ;
αλλά Red and yellow angle = Blue and red angle (Β.3.πρ.27),
∴ τα μισά τους Yellow angle = Blue angle , επίσης Left blue outlined angle = Right blue outlined angle , και
η Black dotted line κοινή·

∴ Left black angle = Right black angle και Red line = Yellow line,
∴ Red and yellow line = διπλάσια της Red line;
Με ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί
ότι Black and dotted blue line = διπλάσια της Black line,
αλλά Black line = Red line
∴ Black and dotted blue line = Red and yellow line ·

Με όμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι και οι άλλες πλευρές είναι ίσες, επομένως το πεντάγωνο είναι ισόπλευρο, και είναι επίσης ισογώνιο διότι

Black outlined and black angle = διπλάσια της Right black angle και η Yellow outlined and black angle = διπλάσια της Left black angle ,
Επομένως Left black angle = Right black angle ,
∴ Black outlined and black angle = Yellow outlined and black angle · και με τον ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι και όλες οι άλλες γωνίες του περιγεγραμμένου πενταγώνου είναι ίσες.

Ο. Ε. Π.

Προταση XIII. Προβλημα.

Πρόταση 13 διάγραμμα

Εις δοθέν πεντάγωνο το οποίο είναι ισόπλευρο και ισογώνιο να εγγραφεί κύκλος.

Ας είναι το Pentagon το δοθέν ισογώνιο και ισόπλευρο πεντάγωνο· μας ζητείται να εγγράψουμε σε αυτό κύκλο.

Διχοτομείστε και πάρετε την Left blue angle = Right blue angle , και την Left red angle = Right red angle (Β.1.πρ.9.)

φέρτε τις Yellow dotted line, Black line, Red line, Red dotted line, και τις υπόλοιπες
Επειδή Black dotted and yellow line = Yellow and dotted black line , Left blue angle = Right blue angle ,
η Black line κοινή στα δύο τρίγωνα
Left big triangle και Right big triangle ·
∴ Red line = Yellow dotted line και Bottom yellow angle = Left red angle (Β.1.πρ.4.)

Και επειδή Yellow angle = Red angle = διπλάσια της Left red angle
∴ = διπλάσια της Bottom yellow angle , επομένως η Yellow angle διχοτομείται από την Red line.

Με όμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι η Outlined angle διχοτομείται από την Red dotted line, και ότι οι υπόλοιπες γωνίες του πολυγώνου διχοτομούνται με τον ίδιο τρόπο.

Φέρτε τις Blue line, Blue dotted line, και τις υπόλοιπες κάθετες στις πλευρές του πενταγώνου.

Τότε στα δυο τρίγωνα Left small triangle και Right small triangle
έχουμε Left blue angle = Right blue angle , (εκ. κατασκ.), η Black line κοινή,
και η Left black angle = Right black angle = ορθή γωνία·
∴ Blue line = Blue dotted line. (Β.1.πρ.26.)

Με ίδιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι οι πέντε κάθετες στις πλευρές του πενταγώνου είναι ίσες μεταξύ τους.

Περιγράψτε τον Yellow circle με οποιαδήποτε από τις κάθετες ως ακτίνα, και αυτός θα είναι ο ζητούμενος κύκλος. Διότι αν δεν εφάπτεται στις πλευρές του πενταγώνου, αλλά τις τέμνει, τότε μια γραμμή που θα άγεται από τα άκρα τους κάθετη στην διάμετρο του κύκλου θα πέφτει μέσα στον κύκλο, που έχει αποδειχτεί άτοπο (Β.3.πρ.16.)

Ο. Ε. Π.

Προταση XIV. Προβλημα.

Πρόταση 14 διάγραμμα

Να περιγραφεί κύκλος περί δοθέν πεντάγωνο, το οποίο είναι ισόπλευρο και ισογώνιο.

Διχοτομείστε την Black and yellow angle και την Yellow and red angle με τις Red dotted line και Blue dotted line,
και από το σημείο τομής τους, φέρτε τις Yellow line, Yellow dotted line, και Black line.

Black and yellow angle = Yellow and red angle ,
Left yellow angle = Right yellow angle , ∴ Blue dotted line = Red dotted line (Β.1.πρ.6);
και εφόσον στα Left triangle και Right triangle ,
Blue line = Red line, και η Red dotted line είναι κοινή,
και επίσης Black angle = Left yellow angle ;
∴ Black line = Blue dotted line (Β.1.πρ.4).

Με παρόμοιο τρόπο μπορεί να αποδειχτεί ότι
Yellow dotted line = Yellow line = Black line, και
επομένως Yellow dotted line = Black line = Red dotted line = Blue dotted line = Yellow line:

Επομένως εάν περιγραφεί κύκλος από το σημείο τομής των πέντε γραμμών, με οποιαδήποτε από αυτές ως ακτίνα, αυτός θα είναι περιγεγραμμένος στο δοθέν πεντάγωνο.

Ο. Ε. Π.

Προταση XV. Προβλημα.

Πρόταση 15 διάγραμμα

Να εγγραφεί εξάγωνο ισόπλευρο και ισογώνιο περί δοθέντα κύκλο Yellow circle.

Από οποιοδήποτε σημείο της περιφέρειας του δοθέντος κύκλου γράψτε τον Red circle που να περνά από το κέντρο του, και φέρτε τις διαμέτρους Black line, Blue line και Yellow line· φέρτε την Black dotted line, Red dotted line, Blue dotted line, και τις υπόλοιπες, και το ζητούμενο εξάγωνο είναι εγγεγραμμένο στον δοθέντα κύκλο.

Εφόσον η Black line περνά από τα κέντρα
των κύκλων, τα Left triangle και Right triangle είναι ισόπλευρα
τρίγωνα, επομένως Red angle = Blue angle = το ένα τρίτο δύο ορθών
γωνιών· (Β.1.πρ.32) but Red, blue, and black angle = Two right angles (Β.1.πρ.13)·

∴ Red angle = Blue angle = Black angle = το ένα τρίτο των Two right angles (Β.1.πρ.32), και οι γωνίες οι απέναντι από αυτές είναι όλες ίσες μεταξύ τους (Β.1.πρ.15), και βαίνουν σε ίσα τόξα (Β.3.πρ.26), στα οποία αντιστοιχούν ίσες χορδές (Β.3.πρ.29)· και καθώς κάθε μια από τις γωνίες του εξαγώνου είναι διπλάσια από την γωνία του ισοπλεύρου τριγώνου, είναι και αυτό ισογώνιο.

Ο. Ε. Π.

Προταση XVI. Προβλημα.

Πρόταση 16 διάγραμμα

Εις δοθέντα κύκλο να εγγραφεί δεκαπεντάγωνο ισόπλευρο και ισογώνιο.

Ας είναι οι Red line και Blue line οι πλευρές ενός ισόπλευρου πενταγώνου εγγεγραμμένου στον δοθέντα κύκλο, και η Yellow line ας είναι η πλευρά ενός εγγεγραμμένου ισόπλευρου τριγώνου.

Το τόξο με χορδές τις Red line και Blue line } = 2 / 5 = 6 / 15 { ολόκληρης της περιφέρειας.

Το τόξο με χορδή την Yellow line } = 1 / 3 = 5 / 15 { ολόκληρης της περιφέρειας.

Η διαφορά τους είναι = 1 / 15

∴ το τόξο με χορδή την Black dotted line = 1 / 15 της περιφέρειας.

Επομένως εάν κατασκευαστούν ευθύγραμμα τμήματα ίσα με το Black dotted line πάνω στον κύκλο (Β.4.πρ.1), ένα ισόπλευρο και ισογώνιο δεκαπεντάγωνο θα εγγραφεί στον κύκλο.

Ο. Ε. Π.

Βιβλια.

  1. Προταση 47 σχήμα
    Βιβλιο I. Βασική γεωμετρία του επιπέδου
  2. Προταση 7 σχήμα
    Βιβλιο II. Γεωμετρική άλγεβρα
  3. Προταση 21 διάγραμμα 1
    Βιβλιο III. Ο κύκλος και τα στοιχεία του
  4. Προταση 4 σχήμα
    Βιβλιο IV. Κανονικά πολύγωνα
  5. Προταση 24 σχήμα
    Βιβλιο V. Λόγοι και αναλογίες
  6. Proposition 3 figure
    Βιβλιο VI. Ομοιότητα ευθύγραμμων σχημάτων