Εισαγωγη

Οι τέχνες και οι επιστήμες έχουν επεκταθεί τόσο πολύ, που το να διευκολύνει κανείς την μάθηση τους, είναι εξίσου σημαντικό με το να διευρύνει τους ορίζοντές τους. Η εικονογράφηση, ακόμα κι όταν δεν συντομεύει τον χρόνο της μελέτης, σίγουρα την κάνει πιο ευχάριστη. Ωστόσο, ο στόχος του παρόντος εργου είναι ευρύτερος από την απλή εικονογράφηση· δεν προσθέτουμε χρώματα για την ευχαρίστησή μας ούτε για να ψυχαγωγηθούμε με κάποιους συνδυασμούς χρωματικού τόνου και μορφής, αλλά για να βοηθήσουμε τη σκέψη στην αναζήτησή της αλήθειας, για να βελτιώσουμε τα διδαχτικά βοηθήματα, και για να διαδόσουμε μόνιμη γνώση. Εάν αναζητούσαμε την συνηγορία των αυθεντιών στην σημασία και χρησιμότητα της γεωμετρίας θα μπορούσαμε να παραθέσουμε κάθε φιλόσοφο μετά τον Πλάτωνα. Ανάμεσα στους αρχαίους Έλληνες, όπως και στη σχολή Πεσταλότζι στους νεώτερους χρόνους, η γεωμετρία υιοθετήθηκε ως το κατ’ εξοχήν μάθημα για την εκγύμναση της σκέψης. Στην πραγματικότητα, τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν γίνει, με κοινή συναίνεση, η βάση κάθε μαθηματικής επιστήμης σε όλο τον πολιτισμένο κόσμο. Αλλά αυτό δεν πρέπει να μας παραξενεύει, αν αναλογιστούμε ότι αυτή η έξοχη επιστήμη δεν ξεχωρίζει από τις άλλες μόνο επειδή προσφέρεται, καλύτερα από κάθε άλλη, για να διεγείρει το πνεύμα της αναζήτησης, να ανυψώσει τον νού και να ενδυναμώσει τις λογικές του ικανότητες, αλλά επειδή αποτέλεσε και αποτελεί την καλύτερη εισαγωγή στα χρησιμότερα και σημαντικότερα επαγγέλματα και κλάδους στη ζωή του ανθρώπου: αριθμητική, τοπογραφία, εμβαδομετρία, μηχανική, πλοήγηση, μηχανολογία, υδροστατική, αεροδυναμική, οπτική, αστρονομία, κ.ά., που όλες εξαρτώνται από τις υποδείξεις της γεωμετρίας.

Ενώ όμως πολλά εξαρτώνται από την πρώτη επαφή της κάθε επιστήμης με τον μαθητή, συχνά δεν προτιμώνται οι συντομότερες και καλύτερες μέθοδοι. Στον μαθητή παρουσιάζονται προτάσεις τις οποίες υποτίθεται ότι ήδη κατανοεί και για τις οποίες λέγονται τόσο λίγα, ωστε αυτός διαβαίνοντας το κατώφλι αυτής της επιστήμης να αποκτά μια άσχημη προδιάθεση, πολύ αρνητική για τις μελλοντικές σπουδές του σε αυτό το υπέροχο αντικείμενο· ή «οι τυπικότητες και τα συμπαρομαρτούντα της αυστηρής διατύπωσης έχουν τόσο διογκωθεί ώστε σχεδόν τείνουν να κρύψουν την πραγματικότητα. Ατελείωτες και μπερδεμένες επαναλήψεις που δεν προσθέτουν μεγαλύτερη ακρίβεια στον τρόπο συλλογισμού, καθιστούν πολύπλοκη την αποδεικτική διδασκαλία ενώ συσκοτίζουν και αποκρύπτουν από τον μαθητή την διαδοχή των λογικών βημάτων». Με αυτό τον τρόπο δημιουργείται μια αποστροφή στο μυαλό του μαθητή, και ένα αντικείμενο τόσο καλά προορισμένο για την βελτίωση των νοητικών του δεξιοτήτων και την ανάπτυξη του σχολαστικού συλλογισμού, υποβαθμίζεται από μια ξερή και άκαμπτη διδακτική αλληλουχία σε μία αδιάφορη εξάσκηση απομνημόνευσης. Σκοπός κάθε δασκάλου θα έπρεπε να είναι η έξαψη της περιέργειας και η αφύπνιση των ράθυμων και αδρανών δυνάμεων του μυαλού των νέων. Όπου όμως απαιτούνται υποδείγματα διάκρισης, γίνονται ελάχιστες προσπάθειες για αυτήν, ενώ η αριστεία διεγείρει την προσοχή και παράγει μίμηση. Ο σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η παρουσίαση μιας μεθόδου διδασκαλίας της γεωμετρίας, την οποία έχουν επικροτήσει πολλοί επιστήμονες στην Αγγλία, καθώς επίσης στη Γαλλία και την Αμερική. Το σχέδιο που υιοθετήθηκε εδώ προσελκύει το μάτι, το πιό ευαίσθητο και το πιο περιεκτικό από τα εξωτερικά μας όργανα, του οποίου η υπεροχή στην εντύπωση στο μυαλό υποστηρίζεται από το αδιαμφισβήτητο απόφθεγμα του Οράτιου:

Segnius irritant animos demiſſa per aurem
Quàm quæ ſunt oculis ſubjecta fidelibus.

Μικρότερη αίσθηση γίνεται στο αυτί
Απ’αυτή που το πιστό μάτι μεταφέρει

Όλες οι γλώσσες αποτελούνται από αντιπροσωπευτικά σήματα, και αυτά τα σήματα είναι τα καλύτερα για να επιτύχουν του σκοπούς τους με την μεγαλύτερη ακρίβεια και σπουδή. Τέτοια είναι, για κάθε σκοπό, τα ηχητικά σήματα που ονομάζονται λέξεις, και που θεωρούνται ακουστικά σήματα, είτε απευθύνονται άμεσα στο αυτί, είτε στο μάτι μέσω των γραμμάτων. Τα γεωμετρικά διαγράμματα δεν είναι σήματα, αλλά τα υλικά της γεωμετρικής επιστήμης, ο σκοπός της οποίας είναι να επιδείξει τις σχετικές ποσότητες των στοιχείων τους, μέσω μιας διαδικασίας αιτιολόγησης που ονομάζεται Απόδειξη. Αυτή η αιτιολόγηση πραγματοποιείται εν γένει με τη βοήθεια λέξεων, γραμμάτων και ασπρόμαυρων διαγραμμάτων, αλλά καθώς η χρήση έγχρωμων συμβόλων, σημάτων και διαγραμμάτων στις γραμμικές τέχνες και στις επιστήμες καθιστά ακριβέστερη τη συλλογιστική διαδικασία και ταχύτερη την επίτευξή της, στη συγκεκριμένη περίπτωση τα έχουμε υιοθετήσει.

Είναι τέτοια η συντόμευση αυτού του δελεαστικού τρόπου μετάδοσης της γνώσης ώστε τα Στοιχεία του Ευκλείδη μπορούν να γίνουν κτήμα κάποιου σε λιγότερο από το ένα τρίτο του χρόνου που συνήθως απαιτείται, και η εντύπωσή τους στη μνήμη να είναι πολύ πιο μόνιμη. Αυτό είναι γεγονός, καθώς έχει επιβεβαιωθεί από πολυάριθμα πειράματα που έχει κάνει ο εφευρέτης και διάφοροι άλλοι που υιοθέτησαν το σχέδιό του. Οι λεπτομέρειες είναι λίγες και προφανείς: τα γράμματα που προσαρτώνται σε σημεία, γραμμές ή άλλα στοιχεία του διαγράμματος για να τα ονομάσουν κατά την απόδειξη, δεν είναι παρά αυθαίρετα ονόματα. Αντί για αυτό, τα στοιχεία αυτά, χρωματισμένα με διαφορετικά χρώματα αυτοπροσδιορίζονται, επειδή η μορφή τους αντιστοιχεί στα χρώματα που τα αντιπροσωπεύουν στην απόδειξη.

Με την χρήση χρωμάτων στις προφορικές αποδείξεις κερδίζουμε ένα σημαντικό πλεονέκτημα, το ότι την ίδια στιγμή απευθυνόμαστε τόσο στο μάτι όσο και στο αυτί, έτσι ώστε το σύστημα αυτό να είναι το καλύτερο προκειμένου να διδάξουμε γεωμετρία και άλλες γραμμικές τέχνες και επιστήμες στην τάξη, όπως είναι προφανές από τα παραδείγματα που προηγήθηκαν.

Καθώς είναι φανερό, η αντιστοίχιση από το κείμενο στο διάγραμμα είναι αμεσότερη και πιο ασφαλής, είτε δίνοντας τα σχήματα και τα χρώματα των στοιχείων τους είτε ονομάζοντάς τα στοιχεία με χρώματα, από το να ονομάζουμε τα στοιχεία με τα γράμματα. Πέραν της απλούστευσης που πετυχαίνουμε έτσι, αυτό το σύστημα βοηθά καλύτερα την αυτοσυγκέντρωση, και αποκλείει την σφαλερή αλλά διαδεδομένη πρακτική της αποστήθισης· γιατί, μόνο ο λόγος και το γεγονός και η απόδειξη εντυπώνονται.

Όταν παρουσιάζουμε στην αίθουσα διδασκαλίας τις αρχές ή τις ιδιότητες των σχημάτων, εάν ονομάσουμε το χρώμα του στοιχείου ή των στοιχείων που αναφερόμαστε, δηλαδή αν πούμε η κόκκινη γωνία, η μπλε γραμμή ή γραμμές κ.λπ., το στοιχείο ή τα στοιχεία στα οποία αναφερόμαστε θα γίνουν αντιληπτά την ίδια στιγμή από όλους τους μαθητές στην αίθουσα. Αυτό δεν συμβαίνει αν πούμε η γωνία ΑΒΓ, το τρίγωνο ΔΕΖ, το σχήμα ΗΘΙ κλπ. Διότι τα γράμματα πρέπει να αναζητηθούν στο διάγραμμα ένα-ένα, προτού ο μαθητής τα καταχωρίσει στο μυαλό του, πράγμα το οποίο συχνά προκαλεί σύγχυση και σφάλματα αλλά και χάσιμο χρόνου. Επίσης, εάν τα στοιχεία που δίνονται ως ίσα, έχουνε το ίδιο χρώμα σε κάθε διάγραμμα, το μυαλό δεν θα χρειάζεται να αναρωτηθεί μπροστά στα αντικείμενα (αν υπάρχει ισότητα και από που προέκυψε). Δηλαδή, μια τέτοια διευθέτηση παρουσιάζει μια οφθαλμοφανή ένδειξη των ίσων στοιχείων, και ο μαθητής συγκρατεί τα δεδομένα καθ’όλη την διάρκεια της διαδικασίας της απόδειξης. Όποια όμως και να είναι τα πλεονεκτήματα του παρόντος σχεδίου, ακόμα και αν δεν αντικαταστήσει πλήρως την συνήθη πρακτική, μπορεί πάντοτε να αποτελέσει ένα ισχυρό συμπληρωματικό βοήθημα στις άλλες μεθόδους, για λόγους εισαγωγής ή για λόγους ταχείας υπενθύμισης της ύλης, ή της πιο μόνιμης εγγραφής στην μνήμη.

Η εμπειρία όλων όσων έχουν κατασκευάσει συστήματα διδακτικού σκοπού συμφωνούν ότι οι έγχρωμες αναπαραστάσεις, δηλαδή εικόνες, διαγράμματα κλπ, εντυπώνονται πιο εύκολα στο μυαλό από τις απλές προτάσεις, τις αμέτοχες σε οποιαδήποτε ιδιομορφία. Όσο και να φαίνεται περίεργο, οι ποιητές φαίνεται να έχουν αντιληφθεί αυτό το γεγονός καλύτερα από τους μαθηματικούς· πολλοί σύγχρονοι ποιητές το υπαινίσσονται, και ένας από αυτούς το εξέφρασε με τα εξής λόγια:

Οι ήχοι που πάνε στο αυτί χάνονται και σβήνουν
Προτού περάσει πολύς καιρός, αλλά αυτά που χτυπάνε το μάτι,
Ζούνε πολύ στο μυαλό, η πιστή όραση
Σκαλίζει την γνώση με μια ακτίνα φωτός.

Αυτή ίσως είναι και η μόνη βελτίωση στην επίπεδη γεωμετρία που έχει γίνει από την εποχή του Ευκλείδη, και, εάν και υπήρξαν αξιόλογοι γεωμέτρες πριν από αυτόν, η επιτυχία του Ευκλείδη τους έχει εκτοπίσει από την ιστορική μνήμη μέχρι του σημείου όλες οι επιτυχίες της Γεωμετρίας να αποδίδονται σε αυτόν· όπως περίπου θεωρείται ο Αίσωπος μεταξύ των παραμυθάδων. Θα πρέπει ακόμα να επισημάνουμε, ότι όπως τα ανάγλυφα διαγράμματα αποτελούν το μόνο μέσο με το οποίο η γεωμετρία και άλλες γραμμικές τέχνες μπορούν να διδαχτούν στους τυφλούς, αυτό το οπτικό σύστημα δεν είναι λιγότερο προσαρμοσμένο στις απαιτήσεις της διδασκαλίας της γεωμετρίας σε κωφούς και άλαλους.

Πρέπει να δοθεί προσοχή στο ότι το χρώμα καθ’αυτό δεν έχει καμμιά σχέση με γραμμές, γωνίες ή μεγέθη, αλλά χρησιμοποιείται μόνο για να τα προσδιορίσει. Μια μαθηματική γραμμή που είναι μήκος χωρίς πλάτος, δεν μπορεί να έχει χρώμα, ωστόσο η παράθεση των δύο χρωμάτων σαν εφαπτόμενα ημιεπίπεδα δίνει μια καλή ιδέα του τι εννοούμε μαθηματική γραμμή· θυμηθείτε ότι στις διατυπώσεις πρέπει να αντιλαμβανόμαστε αυτό ακριβώς το όριο (ανάμεσα στα χρώματα) όταν λέμε π.χ. η μαύρη γραμμή, η κόκκινη γραμμή ή γραμμές κ.λπ., και όχι το ίδιο το χρώμα.

Τα χρώματα και τα εγχρωμα διαγράμματα, ίσως στην αρχή να φαίνονται σαν μια αδέξια μέθοδος για την μεταφορά των σωστών συμβολισμών των ιδιοτήτων των στοιχείων των μαθηματικών σχημάτων και μεγεθών, όμως θα αποδειχτούν ένα μέσο πολύ πιο εκλεπτυσμένο και ευρύ από οτιδήποτε έχει μέχρι σήμερα προταθεί.

Θα ορίσουμε παρακάτω ένα σημείο, μια γραμμη και μια επιφάνεια, και θα αποδείξουμε μια πρόταση με σκοπό να επιδείξουμε την αλήθεια αυτόυ του ισχυρισμού.

Σημείο είναι κάτι που έχει μόνο θέση, αλλά όχι μέγεθος· ή σημείο είναι μόνο θέση, χωρίς μήκος, πλάτος ή πάχος. Ίσως η επόμενη περιγραφή είναι καλύτερη για να εξηγήσει την φύση ενός μαθηματικού σημείου σε αυτούς που δεν έχουν εννοήσει την ιδέα, απ’ότι ο προηγούμενος απατηλός ορισμός.

Μια γραμμή είναι μήκος δίχως πλάτος. Με την βοήθεια χρωμάτων, και με τον ίδιο σχεδόν τρόπο όπως προηγουμένως, μπορεί να δοθεί η ιδέα της γραμμής:

Η επιφάνεια έχει μήκος και πλάτος χωρίς πάχος.

Επιλέξαμε τη παραπάνω πρόταση επειδή ο σκοπός μας εδώ ήτανε μάλλον να εισαγάγουμε το σύστημα παρά να διδάξουμε κάποιο καθορισμένο αριθμό προτάσεων. Για τα σχολεία και τα άλλα μέρη διδασκαλίας, οι χρωματιστές κιμωλίες θα είναι χρήσιμες για τον σχεδιασμό των σχημάτων, και, για ιδιωτική χρήση, πολύ βολικά θα φανούν τα χρωματιστά μολύβια.

Είμαστε ευτυχείς να διαπιστώνουμε ότι, σήμερα, τα Στοιχεία των Μαθηματικών αποτελούν ένα σημαντικό τμήμα κάθε βασικού εκπαιδευτικού προγράμματος για τα κορίτσια, επομένως εφιστούμε την προσοχή των ενδιαφερόμενων -ή αυτών που είναι ήδη δάσκαλοι κοριτσιών- σε αυτή την πολύ ελκυστική μέθοδο μετάδοσης της γνώσης, και της εργασίας που απαιτείται για την μελλοντική της ανάπτυξη.

Προς το παρόν θα καταλήξουμε παρατηρώντας, ότι καθώς οι αισθήσεις του φωτός και της ακοής είναι δυνατόν να εντυπωθούν ταυτόχρονα και το ίδιο ισχυρά στους χιλιάδες όσο και στον ένα, εκατομμύρια μπορούν να διδαχτούν γεωμετρία και άλλους κλάδους των μαθηματικών με μεγάλη ευκολία, πράγμα που θα προωθήσει τους σκοπούς της εκπαίδευσης περισσότερο από κάθε τι άλλο, γιατί θα διδάξει στους ανθρώπους πως να σκέφτονται και όχι τι να σκέφτονται· είναι εδώ ειδικά που έγκειται το μεγάλο σφάλμα της εκπαιδευτικής διαδικασίας.