Ir a

Libro I.

Definiciones.

I.

Un punto es el que no tiene partes.

II.

Una línea es longitud sin ancho.

III.

Los extremos de una línea son puntos.

IV.

Una línea recta o recta es la que se encuentra uniformemente entre sus extremos.

V.

Una superficie es aquella que sólo tiene longitud y ancho.

VI.

Los extremos de una superficie son líneas.

VII.

Una superficie plana es la que se encuentra uniformemente entre sus extremos.

VIII.

Un ángulo plano es la inclinación de dos líneas entre sí, que se encuentran en un plano, pero no están en la misma dirección.

Definición 9 figura

IX.

Un ángulo rectilíneo plano es la inclinación de dos líneas rectas entre sí, que se encuentran, pero no están en la misma línea recta.

Definición 10 figura

X.

Cuando una línea recta parada sobre otra línea recta hace iguales los ángulos adyacentes, cada uno de estos ángulos es llamado ángulo recto, y se dice que cada una de estas líneas es perpendicular a la otra.

Definición 11 figura

XI.

Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto.

Definición 12 figura

XII.

Un ángulo agudo es menor que un ángulo recto.

XIII.

Un borde o límite es el extremo de cualquier cosa.

XIV.

Una figura es una superficie encerrada en todos los lados por una línea o líneas.

Definición 15 figura

XV.

Un círculo es una figura plana, delimitada por una línea continua, llamada circunferencia o periferia; y tiene un cierto punto dentro de él, desde el cual todas las líneas rectas dibujadas a su circunferencia son iguales.

XVI.

Este punto (desde el cual se dibujan las líneas iguales) se llama el centro del círculo.

Definición 17 figura

XVII.

El diámetro de un círculo es una línea recta dibujada a través del centro, terminada en ambos sentidos en la circunferencia.

Definición 18 figura

XVIII.

Un semicírculo es la figura contenida por el diámetro, y la parte del círculo cortada por el diámetro.

Definición 19 figura

XIX.

Un segmento de un círculo es una figura contenida por una línea recta y la parte de la circunferencia que corta.

XX.

Una figura contenida solo por líneas rectas, se llama figura rectilínea.

XXI.

Un triángulo es una figura rectilínea contenida por tres lados.

Definición 22 figura

XXII.

Una figura cuadrilátera es aquella que está limitada por cuatro lados. Las líneas rectas Blue line y Red line que conectan los vértices de los ángulos opuestos de una figura cuadrilátera, son denominadas sus diagonales.

XXIII.

Un polígono es una figura rectilínea delimitada por más de cuatro lados.

Definición 24 figura

XXIV.

Un triángulo cuyos tres lados son iguales, se dice ser equilátero.

Definición 25 figura

XXV.

Un triángulo que tiene solo dos lados iguales es llamado triángulo isósceles.

XXVI.

Un triángulo escaleno es uno que no tiene dos lados iguales.

Definición 27 figura

XXVII.

Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto.

Definición 28 figura

XXVIII.

Un triángulo obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtuso.

Definición 29 figura

XXIX.

Un triángulo acutángulo es aquel que tiene tres ángulos agudos.

Definición 30 figura

XXX.

De las figuras de cuatro lados, un cuadrado es aquel que tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos, ángulos rectos.

Definición 31 figura

XXXI.

Un rombo es aquel que tiene todos sus lados iguales, pero sus ángulos no son ángulos rectos.

Definición 32 figura

XXXII.

Un oblongo es aquel que tiene todos sus ángulos, ángulos rectos, pero no tiene todos sus lados iguales.

Definición 33 figura

XXXIII.

Un romboide es aquel que tiene sus lados opuestos iguales entre sí, pero todos sus lados no son iguales, ni sus ángulos son ángulos rectos.

XXXIV.

Todas las demás figuras cuadriláteras se llaman trapecios.

Definición 35 figura

XXXV.

Las líneas rectas paralelas son como las que se encuentran en el mismo plano, y que prolongadas continuamente en ambas direcciones, nunca se encontrarán.

Postulados.

I.

Deje que sea aceptado que una línea recta puede ser dibujada desde cualquier punto a cualquier otro punto.

II.

Deje que sea aceptado que una línea recta finita puede ser prolongada a cualquier longitud en una línea recta.

III.

Deje que sea aceptado que un círculo puede ser trazado con cualquier centro a cualquier distancia de ese centro.

Axiomas.

I.

Las magnitudes que son iguales a lo mismo son iguales entre sí.

II.

Si se suma igual a igual, las sumas serán iguales.

III.

Si se quita igual a igual, el residuo será igual.

IV.

Si se agregan iguales a desiguales, las sumas serán desiguales.

V.

Si se eliminan iguales de desiguales, el residuo será desigual.

VI.

Los dobles de lo mismo o magnitudes iguales son iguales.

VII.

Las mitades de lo mismo o magnitudes iguales son iguales.

VIII.

Las magnitudes que coinciden entre sí, o que llenan exactamente el mismo espacio, son iguales.

IX.

El todo es mayor que su parte.

X.

Dos líneas rectas no pueden contener un espacio.

XI.

Todos los ángulos rectos son iguales.

Axioma 12 figura

XII.

Si dos líneas rectas ( Red and blue lines ) se encuentran con una tercera línea recta (Black line) para hacer que los dos ángulos interiores ( Yellow angle y Red angle ) en el mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, estas dos líneas rectas se encontrarán si se prolongan en el lado en el que los ángulos son menos de dos ángulos rectos.

El duodécimo axioma puede ser expresado en cualquiera de las siguientes maneras:

  1. Dos líneas rectas divergentes no pueden ser paralelas a la misma línea recta.
  2. Si una línea recta interseca una de las dos líneas rectas paralelas, también debe intersecar la otra.
  3. Solo una línea recta puede ser dibujada a través de un punto dado, paralela a una línea recta dada.

Elucidaciones.

La geometría tiene por objeto principal la exposición y explicación de las propiedades de la figura, y la figura se define como la relación que subsiste entre los límites del espacio. El espacio o magnitud es de tres tipos, lineal, superficial y sólido.

Vertex A
Angles diagram B C D E F G H

Los ángulos pueden considerarse propiamente como una cuarta especie de magnitud. La magnitud angular evidentemente consiste en partes y, por lo tanto, debe admitirse que es una especie de cantidad. El alumno no debe suponer que la magnitud de un ángulo se ve afectada por la longitud de las líneas rectas que lo incluyen y de cuya divergencia mutua es la medida. El vértice de un ángulo es el punto donde los lados o las patas del ángulo se encuentran, como A.

Un ángulo a menudo se designa con una sola letra cuando sus patas son las únicas líneas que se unen en su vértice. Por lo tanto, las líneas roja y azul forman el ángulo amarillo, que en otros sistemas sería llamado el ángulo A. Pero cuando más de dos líneas se encuentran en el mismo punto, era necesario por métodos anteriores, para evitar confusiones, emplear tres letras para designar un ángulo sobre ese punto, la letra que marcaba el vértice del ángulo siempre se colocaba en la mitad. Por lo tanto, las líneas negra y roja que se juntan en C forman el ángulo azul y se ha denominado habitualmente ángulo FCD o DCF. Las líneas FC y CD son las patas del ángulo; El punto C es su vértice. Del mismo modo, el ángulo negro se designaría como el ángulo DCB o BCD. Los ángulos rojo y azul sumados, o el ángulo HCF agregado a FCD, hacen el ángulo HCD; y así de los otros ángulos.

Cuando las patas de un ángulo se dirigen o se prolongan más allá de su vértice, los ángulos hechos por ellas en ambos lados del vértice, se dicen ser verticalmente opuestos entre sí: por lo tanto, los ángulos rojo y amarillo se dicen ser ángulos verticalmente opuestos.

La superposición es el proceso por el cual una magnitud puede ser concebida para ser colocada sobre otra, para cubrirla exactamente, o para que cada parte de cada una coincida exactamente.

Se dice que se prolonga una línea cuando esta es extendida, prolongada o su longitud ha aumentado, y el aumento de longitud que recibe se denomina su parte prolongada o prolongación.

La longitud total de la línea o líneas que encierran una figura es llamada perímetro. Los primeros seis libros de Euclides tratan solo de figuras planas. Una línea dibujada desde el centro de un círculo hasta su circunferencia es llamada radio. Las líneas que contienen una figura son llamadas lados. Ese lado de un triángulo rectángulo, que es opuesto al ángulo recto, se llama hipotenusa. Un oblongo se define en el segundo libro, llamado rectángulo. Todas las líneas que se consideran en los primeros seis libros de los Elementos se supone que están en el mismo plano.

La regla y el compás son los únicos instrumentos, cuyo uso está permitido en Euclides, o geometría plana. Declarar esta restricción es el objeto de los postulados.

Los axiomas de la geometría son ciertas proposiciones generales, cuya verdad se considera evidente e incapaz de establecerse mediante demostración.

Las proposiciones son aquellos resultados que se obtienen en geometría mediante un proceso de razonamiento. Hay dos especies de proposiciones en geometría, problemas y teoremas.

Un problema es una proposición en la que se propone hacer algo; como una línea para ser dibujada bajo ciertas condiciones, un círculo para ser trazado, alguna figura para ser construida, etcétera.

La solución del problema consiste en mostrar cómo se puede hacer la cosa requerida con la ayuda de la regla y el compás.

La demostración consiste en probar que el proceso indicado en la solución realmente alcanza el fin requerido.

Un teorema es una proposición en la cual la verdad de algún principio es afirmada. Este principio debe deducirse de los axiomas y definiciones, u otras verdades establecidas previa e independientemente. Mostrar esto es el objeto de la demostración.

Un problema es análogo a un postulado.

Un teorema se asemeja a un axioma.

Un postulado es un problema, cuya solución se supone.

Un axioma es un teorema, cuya verdad se otorga sin demostración.

Un corolario es una inferencia deducida inmediatamente de una proposición.

Un escolio es una nota u observación sobre una proposición que no contiene una inferencia de importancia suficiente para darle el nombre de un corolario.

Un lema es una proposición simplemente introducida para el propósito de establecer una proposición más importante

Proposición I. Problema.

Proposición 1 Figura

En una línea recta finita dada (Black line) para trazar un triángulo equilátero.

Traza Blue circle and black line y Red circle and black line (postulado 3.); dibuja Yellow line y Red line (post. 1.), entonces Triangle será equilátero.

Para Black line = Yellow line (def. 15.); y Black line = Red line (def. 15.), ∴ Yellow line = Red line (axioma 1.);

y por lo tanto Triangle es el triángulo equilátero requerido.

Q. E. D.

Proposición II. Problem.

Proposición 2 figura

De un punto dado ( Blue and red lines ), dibujar una línea recta igual a una línea recta finita dada (Black line).

Dibuja Black dotted line (post. 1.), traza Isoceles triangle (pr. 1), prolonga Red line (post. 2), traza Blue circle and black line (post. 3), y Red circle and red and yellow lines (post. 3); prolonga Red line (post. 2), entonces Blue line es la línea requerida.

Para Yellow and red lines = Blue and red lines (def. 15.), y Red line = Red line (conſt.), ∴ Yellow line = Blue line (ax. 3.), pero (def. 15.) Black line = Yellow line = Blue line; ∴ Blue line dibujada de un punto dado ( Blue and red lines ), es igual a la línea dada Black line.

Q. E. D.

Proposición III. Problema.

Proposición 3 figura

Desde la mayor ( Black lines ) de dos líneas rectas dadas, cortar una parte igual a la menor (Blue line).

Dibuja Red line = Blue line (pr. 2.), traza Circle and red line (poſt. 3.), entonces Blue line = Black line.

Para Red line = Black line (def. 15.), Blue line = Red line (conſt.); ∴ Blue line = Black line (ax. 1.).

Q. E. D.

Proposición IV. Teorema.

Proposición 4 figura

Si dos triángulos tienen dos lados del uno respectivamente igual a dos lados del otro, (Red line para Red line y Blue line para Blue line) y los ángulos ( Left yellow angle y Right yellow angle ) contenidos por esos lados iguales, también iguales; entonces sus bases o sus lados (Black line y Black line) también son iguales, y los ángulos restantes opuestos a lados iguales son respectivamente iguales ( Left blue angle = Right blue angle y Left red angle = Right red angle ) y los triángulos son iguales en todos los aspectos.

Deja que los dos triángulos sean concebidos para ser colocados, que el vértice de uno de los ángulos iguales, Left yellow angle o Right yellow angle ; caerá sobre él del otro, y Red line coincida con Red line, entonces Blue line coincidirá con Blue line, si aplica; consecuentemente Black line coincidirá con Black line, o dos líneas rectas encerrarán un espacio, lo cual es imposible (ax. 10), por lo tanto Black line = Black line, Left blue angle = Right blue angle y Left red angle = Right red angle , y como los triángulos Left triangle y Right triangle coinciden, cuando aplican, son iguales en todos los aspectos.

Q. E. D.

Proposición V. Teorema.

Proposición 5 figura

En cualquier triángulo isósceles Isoceles triangle si se prolongan los lados iguales, los ángulos externos en la base son iguales, y los ángulos internos en la base también son iguales.

Prolonga Red line, y Red line, (post. 2.), toma Yellow line = Yellow line, (pr. 3.), dibuja Blue line y Blue line.

Entonces en Left triangle y Right triangle tenemos,
Left red and yellow lines = Right red and yellow lines (const.), Black angle es común a
ambos, y Red line = Red line (hip.), ∴ Left blue and yellow angles = Right blue and yellow angles ,
Blue line = Blue line and Left red angle = Right red angle (pr. 4.).

De nuevo en Lower left triangle y Lower right triangle tenemos Yellow line = Yellow line,
Left red angle = Right red angle y Blue line = Blue line,
∴ Left yellow angle plus remaining angle = Right yellow angle plus remaining angle y Left yellow angle = Right yellow angle (pr. 4.) pero
Left blue and yellow angles = Right blue and yellow angles , ∴ Left blue angle = Right blue angle (ax. 3.)

Q. E. D.

Proposición VI. Teorema.

Proposición 6 figura

En cualquier triángulo ( ) si dos ángulos ( Yellow angle y Black angle ) son iguales, los lados opuestos ( Black lines y Blue line) a ellos también son iguales.

Si los lados no son iguales, deje que uno de ellos Black lines sea mayor que el otro Blue line, y de él corte Black line = Blue line (pr. 3.), dibuje Yellow line.

Entonces Small triangle y , Black line = Blue line, (const.) Yellow angle = Black angle (hip.) y Red line común, ∴ los triángulos son iguales (pr. 4.) una parte igual al todo, lo cual es absurdo; ∴ ninguno de los lados Black lines or Blue line es mayor que el otro, ∴ por eso son iguales.

Q. E. D.

Proposición VII. Teorema.

Proposición 7 figura

En la misma base (Black line) y en el mismo lado de la misma, no puede haber dos triángulos que tengan sus lados adyacentes (Red line y Red line, Blue line y Blue line) en ambos extremos de la base, iguales entre sí.

Cuando dos triángulos se están situados en la misma base, y en el mismo lado, el vértice de uno debe caer fuera del otro triángulo o dentro de él; o, finalmente, en uno de sus lados.

Si es posible, deje que los dos triángulos se construyan de modo que { Red line = Red line Blue line = Blue line } , entonce dibuja Black dotted line y,

Red and black angles = Blue angles (pr. 5.) ∴ Red angles < Blue angles y ∴ Red angles < Blue and yellow angles pero (pr. 5.) Red angles = Blue and yellow angles } lo que es absurdo,

por lo tanto, los dos triángulos no pueden tener sus lados adyacentes iguales en ambos extremos de la base.

Q. E. D.

Proposición VIII. Teorema.

Proposición 8 figura

Si dos triángulos tienen dos lados del uno, respectivamente, iguales a dos lados del otro (Blue line = Blue line y Red line = Red line), y también sus bases (Black line = Black line), iguales; entonces los ángulos ( Left angle y Right angle ) contenidos por sus lados iguales son también iguales.

Si las bases iguales Black line y Black line se conciben para colocarse sobre la otra, de modo que los triángulos se encuentren en el mismo lado de ellos, y que los lados iguales Red line y Red line, Blue line y Blue line sean contiguos, el vértice de uno debe caer sobre el vértice del otro; pues suponer que no son coincidentes contradeciría la última proposición.

Por consiguiente, los lados Red line y Blue line, son coincidentes con Red line y Blue line,
∴ Left angle = Right angle .

Q. E. D.

Proposición IX. Problema.

Proposición 9 figura

Para bisecar un ángulo rectilíneo dado ( Blue and yellow angles ).

Toma Red line = Red line (pr. 3.) dibuja Yellow line, sobre la cual se traza
Bottom triangle (pr. 1.), dibuja Black line.

Porque Red line = Red line (const.) y Black line es común a los dos
triángulos y Blue line = Blue line (const.),
∴ Blue angle = Yellow angle (pr. 8.)

Q. E. D.

Proposición X. Problema.

Proposición 10 figura

Para bisecar una línea recta finita dada ( Black lines ).

Construye Triangle (pr. 1.),
dibuje Red line, haciendo Blue angle = Yellow angle (pr. 9.).

Entonce Black line = Black dotted line por (pr. 4.),
Yellow line = Blue line (const.) Blue angle = Yellow angle y
Red line común a los dos triángulos.

Por lo tanto, la línea dada es bisecada.

Q. E. D.

Proposición XI. Problema.

Proposición 11 figura

Desde un punto dado ( Black and red lines ), en una línea recta dada ( Black and red lines ), para dibujar una perpendicular.

Toma cualquier punto ( Red lines ) en la línea dada,
corta Black line = Red line (pr. 3.),
construye Triangle (pr. 1.),
dibuja Yellow line y esta será perpendicular a la línea dada.

Para Blue line = Blue line (const.)
Black line = Red line (const.)
Yellow line común a los dos triángulos.

Por consiguiente, Red angle = Blue angle (pr. 8.)
∴ Yellow line ⊥ Black and red lines (def. 10.).

Q. E. D.

Proposición XII. Problema.

Proposición 12 figura

Para dibujar una línea recta perpendicular a una línea recta indefinida dada ( Black and yellow lines ) desde un punto dado ( Blue and red lines ).

Con el punto dado Blue and red lines como centro, a un lado de las línea, y cualquier distancia Black line capaz de extenderse al otro lado, traza Red curve ,

Haz Black line = Yellow line (pr. 10.)
dibuja Blue line, Blue line y Red line.
entonces Red line ⊥ Black and yellow lines .

Para (pr. 8.) ya que Black line = Yellow line (const.)
Red line común a ambas
y Blue line = Blue line (def. 15.)

∴ Yellow angle = Blue angle , y
∴ Red line ⊥ Black and yellow lines (def. 10.).

Q. E. D.

Proposición XIII. Teorema.

Proposición 13 figura

Cuando una línea recta (Yellow line) se apoya sobre otra línea recta (Red line) forma ángulos con ella; que son dos ángulos rectos o juntos equivalen a dos ángulos rectos.

Si Yellow line es ⊥ a Red line entonces,
Yellow and red angles y Blue angle = Two right angles (def. 10.),

Pero si Yellow line no es ⊥ a Red line entonces,
dibuja Black line ⊥ Red line; (pr. 11.)
Yellow angle + Blue and red angles = Two right angles (const.),
Yellow angle = Blue and red angles = Red angle + Blue angle
∴ Yellow angle + Blue and red angles = Yellow angle + Red angle + Blue angle (ax. 2.)
= Yellow and red angles + Blue angle = Two right angles .

Q. E. D.

Proposición XIV. Teorema.

Proposición 14 figura

Si hay dos líneas rectas (Blue line y Black line), que se encuentran con una tercera línea recta (Red line), en el mismo punto y en lados opuestos, hacen con este ángulos adyacentes ( Yellow angle y Blue angle ) iguales a dos ángulos rectos; estas líneas rectas se encuentran en una línea recta continua.

Si es posible, deja Yellow line, y no Black line,
Ser la continuación de Blue line,
Entonces Yellow angle + Blue and red angles = Two right angles
Pero por la hipótesis Yellow angle + Blue angle = Two right angles
∴ Blue and red angles = Blue angle , (ax. 3.); los cual es absurdo (ax. 9.).
∴ Yellow line, no es la continuación de Blue line, y se puede demostrar algo similar de cualquier otra línea recta excepto Black line, ∴ Black line es la continuación de Blue line.

Q. E. D.

Proposición XV. Teorema.

Proposición 15 figura

Si dos líneas rectas (Black line y Red line) se cruzan entre sí, los ángulos verticales Yellow angle y Black angle , Red angle y Blue angle son iguales.

Yellow angle + Red angle = Two right angles
Black angle + Red angle = Two right angles
∴ Yellow angle = Black angle .

De la misma manera, se puede demostrar que
Red angle = Blue angle

Q. E. D.

Proposición XVI. Teorema.

Proposición 16 figura

Si un lado de un triángulo ( Large triangle ) es prolongado, el ángulo externo ( Bottom black angle and arc ) es mayor que cualquiera de los ángulos opuestos internos ( Top black angle o Blue angle ).

Haz Blue line = Blue dotted line (pr. 10.).
Dibuja Red line y prolóngala hasta
Red dotted line = Red line; dibuja Yellow line.

En Left triangle y Right triangle ; Blue line = Blue dotted line
Left yellow angle = Right yellow angle y Red line = Red dotted line (const. pr. 15.),
∴ Top black angle = Bottom black angle (pr. 4.),
∴ Bottom black angle and arc > Top black angle .

De igual manera se puede mostrar, que si Blue lines
son prolongadas, Red angle > Blue angle , y por lo tanto
Bottom black angle and arc el cual es = Red angle es > Blue angle .

Q. E. D.

Proposición XVII. Teorema.

Proposición 17 figura

Cualquiera de los dos ángulos de un triángulo Triangle juntos son menos que dos ángulos rectos.

Prolonga Black line, entonce será
Red angle + Yellow angle = Two right angles

Pero Yellow angle > Blue angle (pr. 16.)
∴ Red angle + Blue angle < Two right angles ,

y de la misma manera se puede demostrar que cualesquiera otros dos ángulos del triángulo tomados juntos son menos que dos ángulos rectos.

Q. E. D.

Proposición XVIII. Teorema.

Proposición 18 figura

En cualquier triángulo Triangle si un lado Red lines es mayor que otro Blue line, el ángulo opuesto del lado mayor es mayor que el ángulo opuesto del menor, por ejemplo Black and red angles > Yellow angle .

Haz Red line = Blue line (pr.3.), dibuja Yellow line.

Entonces será Blue angle = Black angle (pr. 5.);
pero Blue angle > Yellow angle (pr. 16.);
∴ Black angle > Yellow angle y mucho más
es Black and red angles > Yellow angle .

Q. E. D.

Proposición XIX. Teorema.

Proposición 19 figura

Si en cualquier triángulo Triangle un ángulo Blue angle es mayor que otro Blue angle el lado Blue line que es opuesto al ángulo mayor, es mayor que el lado Red line opuesto al menor.

Si Blue line no es mayor que Red line entonces debe
Blue line = o < Red line.

Si Blue line = Red line entonces
Blue angle = Blue angle (pr. 5.);
lo cual es contrario a la hipótesis.
Blue line no es menor que Red line; porque si fuera,
Blue angle < Blue angle (pr. 18.)
lo cual es contrario a la hipótesis:
∴ Blue line > Red line.

Q. E. D.

Proposición XX. Teorema.

Proposición 20 figura

Cualquiera dos lados Blue line y Red line de un triángulo Triangle tomados juntos son mayores que el tercer lado (Black line).

Prolonga Blue line, y
haz Blue dotted line = Red line (pr. 3.);
dibuja Yellow line.

Entonces porque Blue dotted line = Red line (conſt.),

Blue angle = Red angle (pr. 5.) ∴ Blue and yellow angles > Red angle (ax. 9.)

∴ Blue line + Blue dotted line > Black line (pr. 19.)
y ∴ Blue line + Red line > Black line.

Q. E. D.

Proposición XXI. Teorema.

Proposición 21 figura

Si desde cualquier punto ( Point ) dentro de un triángulo Triangle se dibujan líneas rectas a las extremidades de un lado (Blue dotted line), estas líneas deben estar menos juntas que los otros dos lados, pero deben contener un ángulo mayor.

Prolonga Black line,
Blue line + Red line > Black lines (pr. 20.),
agrega Red dotted line a cada una,
Blue line + Red lines > Black lines + Red dotted line (ax. 4.)

De igual manera se puede mostrar que
Black lines + Red dotted line > Black line + Yellow line,
∴ Blue line + Red lines > Black line + Yellow line,
que debía ser probado.

De nuevo Blue angle > Yellow angle (pr. 16.), y también Red angle > Blue angle (pr. 16.), ∴ Red angle > Yellow angle .

Q. E. D.

Proposición XXII. Teorema.

Proposición 22 figura

Dadas tres líneas rectas { Three dotted lines la suma de dos cualesquiera mayores que la tercera, para construir un triángulo cuyos lados serán respectivamente iguales a las líneas dadas.

Asume Black line = Black dotted line (pr. 3.). Dibuja Blue line = Blue dotted line y Red line = Red dotted line } (pr. 2.).

Con Blue line y Red line como radios,
dibuja Blue circle y Red circle (post. 3.);
dibuja Yellow dotted line y Yellow line,
entonces Triangle será el triángulo requerido.

Para Black line = Black dotted line, Yellow line = Red line = Red dotted line, y Yellow dotted line = Blue line = Blue dotted line. } (conſt.)

Q. E. D.

Proposición XXIII. Problema.

Proposición 23 figura

En un punto dado ( Point ), en una línea recta dada Black lines ), hacer un ángulo igual a un ángulo rectilíneo dado ( Red angle ).

Dibuja Red thin line entre dos puntos en las patas del ángulo dado.

Construye Triangle (pr. 22.). de modo que
Black line = Black thin line, Yellow line = Blue line
y Red line = Red thin line.

Entonces Blue angle = Red angle (pr. 8.).

Q. E. D.

Proposición XXIV. Teorema.

Proposición 24 figura

Si dos triángulos tienen dos lados de uno respectivamente igual a dos lados del otro (Blue line a Blue thin line y Red dotted line a Red thin line), y si uno de los ángulos ( Left top angles ) contenido por los lados iguales es mayor que el otro ( Right angle ), el lado (Black line) que es opuesto al ángulo más grande es mayor que el lado (Yellow line) que es opuesto al ángulo menor.

Haz Left angle = Right angle (pr. 23.),
y Red line = Red thin line (pr. 3.),
dibuja Blue dotted line y Black dotted line.
Porque Red line = Red dotted line (ax. 1. hip. const.)
∴ Blue and red angles = Yellow angle (pr. 5.)
pero Red angle < Yellow angle
y ∴ Red angle < Black and yellow angles ,
∴ Black line > Black dotted line (pr. 19.)
pero Black dotted line = Yellow line (pr. 4.)
∴ Black line > Yellow line.

Q. E. D.

Proposición XXV. Teorema.

Proposición 25 figura

Si dos triángulos tienen dos lados (Red line y Blue line) de uno respectivamente igual a dos lados (Red thin line y Blue thin line) del otro, pero sus bases son desiguales, el ángulo subtendido por la base mayor (Black line) de uno, debe ser mayor que el ángulo subtendido por la base menor (Yellow line) del otro.

Yellow angle =, > o < Black angle Yellow angle no es igual a Black angle
por si Yellow angle = Black angle entonces Black line = Yellow line (pr. 4.)
lo cual es contrario a la hipótesis;

Yellow angle no es menor que Black angle
por si Yellow angle < Black angle
entonces Black line < Yellow line (pr. 24.),
lo cual también es contrario a la hipótesis:

∴ Yellow angle > Black angle .

Q. E. D.

Proposición XXVI. Teorema.

Proposición 26 figura Caso II. Caso I.

Si dos triángulos tienen dos ángulos de uno respectivamente igual a dos ángulos del otro, ( Case 1: Left yellow angle = Case 1: Right yellow angle y Case 1: Left red angle = Case 1: Right black and blue angles ), y un lado de uno igual a un lado del otro colocado de manera similar con respecto a los ángulos iguales, los lados y ángulos restantes son respectivamente iguales entre sí.

Caso I.

Deja que Blue line y Blue line que se encuentran entre los ángulos iguales sean iguales,
entonces Red line = Case 1: Right red lines .
Por si es posible, deja una de ellas Case 1: Right red lines ser mayor que la otra;
haz Red line = Red line, dibuja Yellow line.

En Case 1: Left triangle y Case 1: Right triangle tenemos Red line
= Red line, Case 1: Left yellow angle = Case 1: Right yellow angle , Blue line = Blue line;
∴ Case 1: Left red angle = Case 1: Right black angle (pr. 4.)
pero Case 1: Left red angle = Case 1: Right black and blue angles (hip.)
y por consiguiente Case 1: Right black angle = Case 1: Right black and blue angles , lo cual es absurdo; por lo tanto ninguno de los lados Red line y Case 1: Right red lines es mayor que el otro; y ∴ son iguales;
∴ Black line = Black line, y Case 1: Left arc = Case 1: Right arc , (pr. 4.).

Caso II.

De nuevo, deja Red line = Red line, que se encuentran frente a los ángulos iguales Case 2: Left red angle y Case 2: Right red angle . Si esto es posible, deja Case 2: Right blue lines > Blue line, entonces toma Blue line = Blue line, dibuja Yellow line.

De nuevo, deja Case 2: Left triangle y Case 2: Right triangle tenemos Red line = Red line,
Blue line = Blue line y Case 2: Left yellow angle = Case 2: Right yellow angle ,
∴ Case 2: Left red angle = Case 2: Right black angle (pr. 4.)
pero Case 2: Left red angle = Case 2: Right red angle (hip.)
∴ Case 2: Right black angle = Case 2: Left red angle lo cual es absurdo (pr. 16.).

En consecuencia, ninguno de los lados Blue line o Case 2: Right blue lines es mayor que el otro, por lo tanto, deben ser iguales. Se deduce (por la pr. 4.) que los triángulos son iguales en todos los aspectos.

Q. E. D.

Proposición XXVII. Teorema.

Proposición 27 figura

Si una línea recta (Black line) que se encuentra con otras dos líneas rectas, ((Red line y Blue line) forma con ellas los ángulos alternos ( Blue angle y Red angle ; Bottom yellow angle y Top yellow angle ) iguales, estas dos líneas rectas son paralelas.

Si Blue line no es paralela a Red line se encontrarán cuando se prolonguen.

Si es posible, deje que esas líneas no sean paralelas, sino que se encuentren cuando se prolonguen; entonces el ángulo externo Red angle es mayor Blue angle (pr. 16), pero ellos también son igual (hip.), lo cual es absurdo; de la misma manera se puede demostrar que no pueden encontrarse en el otro lado; ∴ son paralelos.

Q. E. D.

Proposición XXVIII. Theorem.

Proposición 28 figure

Si una línea recta (Black line), corta otras dos líneas rectas (Red line y Yellow line), hace que el ángulo externo sea igual al ángulo interno y opuesto, en el mismo lado de la línea de corte (es decir, Black angle = Bottom blue angle o Yellow angle = Bottom red angle ), o si hace que juntos los dos ángulos internos en el mismo lado ( Bottom red angle y Top blue angle , o Bottom blue angle y Top red angle ) iguales a dos ángulos rectos, esas dos líneas rectas son paralelas.

Primero, si Black angle = Bottom blue angle , entonces Black angle = Top blue angle (pr. 15.),
∴ Bottom blue angle = Top blue angle ∴ Red line ∥ Yellow line (pr. 27.).

Seguno, si Bottom blue angle + Top red angle = Two right angles ,
entonces Top red angle + Top blue angle = Two right angles (pr. 13.),
∴ Bottom blue angle + Top red angle = Top red angle + Top blue angle (ax. 3.)
∴ Bottom blue angle = Top blue angle
∴ Red line ∥ Yellow line (pr. 27.)

Q. E. D.

Proposición XXIX. Teorema.

Proposición 29 figura

Una línea recta (Blue line) que cae sobre dos líneas rectas paralelas (Yellow line y Red line), hace que los ángulos alternos sean iguales entre sí; y también el externo igual al ángulo interno y opuesto en el mismo lado; y los dos ángulos internos en el mismo lado juntos equivalen a dos ángulos rectos.

Por si los ángulos alternos Blue and yellow angles y Bottom black angle , dibuja Black line haciendo Yellow angle = Bottom black angle (pr. 23).

Por lo tanto Black lines ∥ Red line (pr. 27.) y, por lo tanto, dos líneas rectas que se cruzan son paralelas a la misma línea recta, lo cual es imposible (ax. 12).

Por lo tanto, los ángulos alternos Blue and yellow angles y Bottom black angle no son desiguales, es decir, son iguales: Blue and yellow angles = Red angle (pr. 15); ∴ Red angle = Bottom black angle , el ángulo externo igual al interno y opuesto en el mismo lado: si Top black angle se agrega a ambos, entonces Bottom black angle + Top black angle = Top black and red angles = Two right angles (pr. 13). Es decir, los dos ángulos internos en el mismo lado de la línea de corte son iguales a dos ángulos rectos.

Q. E. D.

Proposición XXX. Teorema.

Proposición 30 figura

Las líneas rectas ( Red and blue lines ) que son paralelas a la misma línea recta (Yellow line), son paralelas entre sí.

Deja Black line intersecar { Red line Yellow line Blue line } ;
Entonces, Yellow angle = Blue angle = Red angle (pr. 29.),
∴ Yellow angle = Red angle
∴ Red line ∥ Blue line (pr. 27.)

Q. E. D.

Proposición XXXI. Problema.

Proposición 31 figura

Desde un punto dado Black and red point para dibujar una línea recta paralela a una línea recta dada (Blue line).

Dibuja Black line desde el punto Black and red point a cualquier punto Black and blue point en Blue line,
haz Yellow angle = Red angle (pr. 23.),
haz Red lines ∥ Blue line (pr. 27.).

Q. E. D.

Proposición XXXII. Teorema.

Proposición 32 figura

Si cualquier lado (Black line) de un triángulo es prolongado, el ángulo externo ( Black and red angles ) es igual a la suma de los dos ángulos internos opuestos ( Yellow angle y Bottom black angle ), y los tres ángulos internos de cada triángulo juntos son iguales a dos ángulos rectos.

A través del punto Black and yellow point dibuja
Blue line ∥ Red line (pr. 31.).

Entonces { Red angle = Yellow angle Bottom black angle = Top black angle } (pr. 29.),

∴ Yellow angle + Bottom black angle = Black and red angles (ax. 2.),
y por lo tanto,
Yellow angle + Blue angle + Bottom black angle = Black, blue, and red angles = Two right angles (pr. 13.).

Q. E. D.

Proposición XXXIII. Teorema.

Proposición 33 figura

Las líneas rectas (Blue line y Yellow line) que unen las extremidades adyacentes de dos líneas rectas iguales y paralelas (Red line y Red dotted line), son en sí mismas iguales y paralelas.

Dibuja la diagonal Black line.
Red line = Red dotted line (hip.)
Yellow angle = Black angle (pr. 29.)
y Black line común a los dos triángulos;
∴ Blue line = Yellow line, y Blue angle = Red angle (pr. 4.);
y ∴ Blue line ∥ Yellow line (pr. 27.).

Q. E. D.

Proposición XXXIV. Theorem.

Proposición 34 figure

Los lados opuestos y los ángulos de cualquier paralelogramo son iguales, y la diagonal (Black line) lo divide en dos partes iguales.

Ya que { Blue angle = Yellow angle Top red angle = Bottom red angle } (pr. 29.) y Black line común a los dos triángulos.

∴ { Red line = Red dotted line Yellow line = Blue line Top black angle = Bottom black angle } (pr. 26.)
y Blue and red angles = Red and yellow angles (ax.):

Por lo tanto, los lados y ángulos opuestos del paralelogramo son iguales: y como los triángulos Left triangle y Right triangle son iguales en todos los aspectos (pr. 4,), la diagonal divide el paralelogramo en dos partes iguales.

Q. E. D.

Proposición XXXV. Teorema.

Proposición 35 figura

Paralelogramos en la misma base, y entre las mismos paralelas, son (en área) iguales.

A causa de las paralelas, Red angle = Blue angle ; Black angle = Black outlined angle ; Blue line = Red line } (pr. 29.) (pr. 29.) (pr. 34.)

Pero, Left triangle = Right triangle (pr. 8.)
∴ All shapes menos Right triangle = Left parallelogram ,
y All shapes menos Left triangle = Right parallelogram ;
∴ Left parallelogram = Right parallelogram .

Q. E. D.

Proposición XXXVI. Teorema.

Proposición 36 figura

Paralelogramos ( Red parallelogram and Yellow parallelogram ) en bases iguales, y entre las mismas paralelas, son iguales.

Dibuja Yellow line y Black dotted line,
Black line = Blue line = Red line, por (pr. 34, y hip.);
∴ Black line= y ∥ Red line;
∴ Yellow line = y ∥ Black dotted line (pr. 33.)

Y por lo tanto Middle parallelogram es un paralelogramo:
pero Red parallelogram = Middle parallelogram = Yellow parallelogram (pr. 35.)
∴ Red parallelogram = Yellow parallelogram (ax. 1.).

Q. E. D.

Proposición XXXVII. Teorema.

Proposición 37 figure

Triángulos Large yellow triangle y Small yellow and black triangles en la misma base (Black line) y entre las mismas paralelas son iguales.

Dibuja Red dotted line ∥ Red line Blue dotted line ∥ Blue line } (pr. 31.)

Prolonga Black dotted line.

Large blue and yellow triangles y Small black, red, and yellow triangles son paralelogramos en la misma base y entre las mismas paralelas, y por lo tanto iguales. (pr. 35.)

∴ { Large blue and yellow triangles = dos veces Large yellow triangle with red and black borders Small black, red, and yellow triangles = dos veces Small yellow and black triangles } (pr. 34.)

∴ Large yellow triangle = Small yellow and black triangles .

Q. E. D.

Proposición XXXVIII. Teorema.

Proposición 38 figura

Triángulos Red triangle y Blue triangle en bases iguales y entre las mismas paralelas son iguales.

Dibuja Blue dotted line ∥ Blue line Red dotted line ∥ Red line } (pr. 31.)

Left parallelogram = Right parallelogram (pr. 36.);
Left parallelogram = dos veces Red triangle (pr. 34.),
y Right parallelogram = dos veces Blue triangle (pr. 34.),
∴ Red triangle = Blue triangle (ax. 7.).

Q. E. D.

Proposición XXXIX. Teorema.

Proposición 39 figura

Los triángulos iguales Yellow triangles y Black and yellow triangles en la misma base (Black line) y en el mismo lado de esta, están entre las mismas paralelas.

Si Blue line, que une los vértices de los triángulos, no sea ∥ Black line, dibuja Red line ∥ Black line (pr. 31.), encontrando Black dotted line.

Dibuja Yellow line.

Porque Red line ∥ Black line (const.)
Yellow triangles = Black, blue, and yellow triangles (pr. 37.):
Pero Yellow triangles = Black and yellow triangles (hip.);

∴ Black and yellow triangles = Black, blue, and yellow triangles , una parte igual al todo, lo cual es absurdo.

∴ Red line ∦ Black line; y de la misma manera se puede demostrar que ninguna otra línea excepto
Blue line es ∥ Black line; ∴ Blue line ∥ Black line.

Q. E. D.

Proposición XL. Teorema.

Proposición 40 figura

Los triángulos iguales Yellow triangle y Red triangle en bases iguales y en el mismo lado, están entre las mismas paralelas.

Si Blue line que une los vértices de los triángulos
no sea ∥ Black and blue baseline ,
dibuja Red line ∥ Black and blue baseline (pr. 31.),
encontrando Black dotted line.

Dibuja Yellow line.
Porque Red line ∥ Black and blue baseline (const.)
Yellow triangle = Red and blue triangles triangle pero Yellow triangle = Red triangle
∴ Red triangle = Red and blue triangles triangle , una parte igual al todo, lo cual es absurdo.
∴ Red line ∦ Black line: y de la misma manera se puede demostrar que ninguna otra línea excepto
Blue line es ∥ Black line: ∴ Blue line ∥ Black line.

Q. E. D.

Proposición XLI. Teorema.

Proposición 41 figura

Si un paralelogramo Parallelogram y un triángulo Blue, red, and yellow triangles están sobre la misma base Black line y entre las mismas paralelas Black dotted line y Black line, el paralelogramo es el doble del triángulo.

Dibuja la diagonal Red line;
Entonces Blue triangle = Blue, red, and yellow triangles (pr. 37.)
Parallelogram = dos veces Blue triangle (pr. 34.)
∴ Parallelogram = dos veces Blue, red, and yellow triangles .

Q. E. D.

Proposición XLII. Theorem.

Proposición 42 figure

Para construir un paralelogramo igual a un triángulo dado Black, blue, and yellow triangles y que tenga un ángulo igual a un ángulo rectilíneo dado Yellow angle .

Haz Black line = Black dotted line (pr. 10.)
Dibuja Yellow line.
Haz Blue angle = Yellow angle (pr. 23.)

Dibuja { Red dotted line ∥ Red line Blue line ∥ Black line } (pr. 31.)

Parallelogram = dos veces Blue, and yellow triangles (pr. 41.)
pero Blue, and yellow triangles = Black triangle (pr. 38.)
∴ Parallelogram = Black, blue, and yellow triangles .

Q. E. D.

Proposición XLIII. Teorema.

Proposición 43 figura

Los complementos Blue parallelogram y Black parallelogram de los paralelogramos que están sobre la diagonal de un paralelogramo son iguales.

Black parallelogram and red and yellow triangles = Blue parallelogram and red and yellow triangles (pr. 34.)
y Bottom red and yellow triangles = Top red and yellow triangles (pr. 34.)
∴ Black parallelogram = Blue parallelogram (ax. 3.)

Q. E. D.

Proposición XLIV. Problema.

Proposición 44 figura

A una línea recta dada (Black line) para aplicar un paralelogramo igual a un triángulo dado ( Red triangle ) y que tenga un ángulo igual a un ángulo rectilíneo dado ( Yellow angle ).

Haz Yellow parallelogram = Red triangle con Blue angle = Yellow angle (pr. 42.) y teniendo uno de sus lados Black dotted line limítrofe y en continuación de Black line. Prolonga Blue line hasta que se encuentre Yellow line ∥ Blue dotted line dibuja Red line y prolonga hasta que se encuentre Red dotted line continuada; dibuja Yellow dotted line ∥ Black dotted and solid lines encuentra Yellow line prolongada, y prolonga Blue dotted line.

Yellow parallelogram = Blue parallelogram (pr. 43.)
pero Yellow parallelogram = Red triangle (const.)
∴ Blue parallelogram = Red triangle ; y
Blue angle = Red angle = Black angle = Yellow angle (pr. 29. y const.)

Q. E. D.

Proposición XLV. Problema.

Proposición 45 figura

Para construir un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada ( Triangles ) y que tenga un ángulo igual a un ángulo rectilíneo dado ( Red angle ).

Dibuja Red line y Blue line dividiendo la figura rectilínea en triángulos.

Construye Blue parallelogram = Blue triangle
teniendo Yellow angle = Red angle (pr. 42.)
para Red line aplica Yellow parallelogram = Yellow triangle
teniendo Black angle = Red angle (pr. 44.)
para Blue line aplica Red parallelogram = Red triangle
teniendo Blue angle = Red angle (pr. 44.)
∴ Parallelograms = Triangles
y Parallelograms es un paralelogramo (pr. 29, 14, 30.)
teniendo Blue angle = Red angle .

Q. E. D.

Proposición XLVI. Problema.

Proposición 46 figura

Sobre una línea recta dada Black line construir un cuadrado.

Dibuja Blue line ⊥ y = Black line (pr. 11. and 3.)

Dibuja Red line ∥ Black line, y encuentra Yellow line dibujada ∥ Blue line.

En Square Blue line = Black line (const.)
Yellow angle = un ángulo recto (const.)
∴ Red angle = Yellow angle = un ángulo recto (pr. 29.),
y los lados y ángulos restantes deben ser iguales. (pr. 34.)
y ∴ Square es un cuadrado. (def. 30.)

Q. E. D.

Proposición XLVII. Teorema.

Proposición 47 figura

En un triángulo rectángulo Center triangle el cuadrado de la hipotenusa Red line es igual a la suma de los cuadrados de los lados, (Blue line y Yellow line).

En Red line, Blue line y Yellow line dibuja cuadrados, (pr. 46.)

Dibuja Black dotted line ∥ Red dotted line (pr. 31.) tambien dibuja Black line y Black line.

Bottom yellow angle = Top yellow angle ,

A cada uno agrega Black angle ∴ Black and bottom yellow angle = Black and top yellow angle ,
Red line = Red dotted line y Blue line = Blue dotted line;

∴ Blue triangle and black angle = Red triangle and black angle .

De nuevo, porque Yellow line ∥ Blue dotted line
Red square = dos veces Red triangle and black angle ,
y Blue rectangle = dos veces Blue triangle and black angle ;
∴ Red square = Blue rectangle .

De la misma manera se puede mostrar
que Black square = Yellow rectangle ;
por lo tanto Black and red squares = Yellow and blue rectangles .

Q. E. D.

Proposición XLVIII. Teorema.

Proposición 48 figura

Si el cuadrado de un lado (Red line) de un triángulo es igual a los cuadrados de los otros dos lados (Blue line y Black line), el ángulo ( Red angle ) subtendido por ese lado es un ángulo recto.

Dibuja Black dotted line ⊥ Blue line y = Black line (prs. 11. 3.)
y dibuja Red dotted line también.

Ya que Black dotted line = Black line (const.)
Black dotted line2 = Black line2;
∴ Black dotted line2 + Blue line2 = Black line2 + Blue line2,
pero Black dotted line2 + Blue line2 = Red dotted line2 (pr. 47.),
y Black line2 + Blue line2 = Red line2 (hip.)
∴ Red dotted line2 = Red line2,
∴ Red dotted line = Red line;
y ∴ Yellow angle = Red angle (pr. 8.),
por consiguiente Red angle es un ángulo recto.

Q. E. D.

Libros.

  1. Libro I. Geometría básica plana
  2. Libro II. Álgebra geométrica
  3. Libro III. Círculos y ángulos
  4. Libro IV. Polígonos regulares
  5. Libro V. Razones y proporcioness
  6. Libro VI. Proporciones geométricas