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Libro IV.

Definiciones.

Definición 1 figura

I.

Se dice que una figura rectilínea está inscrita en otra, cuando todos los puntos angulares de la figura inscrita están en los lados de la figura en la que se dice que está inscrita.

II.

Se dice que una figura se traza sobre otra figura, cuando todos los lados de la figura circunscrita pasan a través de los puntos angulares de la otra figura.

Definición 3 figura

III.

Se dice que una figura rectilínea está inscrita en un círculo, cuando el vértice de cada ángulo de la figura está en la circunferencia del círculo.

Definición 4 figura

IV.

Se dice que una figura rectilínea está circunscrita alrededor de un círculo, cuando cada uno de sus lados es una tangente al círculo.

Definición 5 figura

V.

Se dice que un círculo está inscrito en una figura rectilínea, cuando cada lado de la figura es una tangente al círculo.

Definición 6 figura

VI.

Se dice que un círculo está circunscrito alrededor de una figura rectilínea, cuando la circunferencia pasa a través del vértice de cada ángulo de la figura.

Triangle es circunscrito.

Definición 7 figura

VII.

Se dice que una línea recta está inscrita en un círculo, cuando sus extremos están en la circunferencia.

El cuarto libro de los Elementos está dedicado a la solución de problemas, principalmente relacionados con la inscripción y circunscripción de polígonos regulares y círculos.

Un polígono regular es aquel cuyos ángulos y lados son iguales.

Proposición I. Problema.

Proposición 1 figura

En un círculo dado Yellow circle para colocar una línea recta, igual a una línea recta dada (Blue line), no mayor que el diámetro del círculo.

Dibuja Dotted red and red line , el diámetro de Yellow circle;
y si Dotted red and red line = Blue line, entonces
el problema está resuelto.

Pero si Dotted red and red line no es igual a Blue line,
Dotted red and red line > Blue line (hip.);
haz Red dotted line = Blue line (L. 1. pr. 3.) con
Red dotted line como radio,
traza Blue circle, cortando Yellow circle, y
dibuja Yellow line, que es la línea requerida
Para Yellow line = Red dotted line = Blue line (L. 1. def. 15. const.)

Q. E. D.

Proposición II. Problema.

Proposición 2 figura

En un círculo dado Black circle para inscribir un triángulo equiangular a un triángulo dado.

A cualquier punto en el círculo dado dibuja Red line, una tangente (L. 3. pr. 17.); y en el punto de contacto
haz Left blue angle = Right blue angle (L. 1. pr. 23.)
y de igual manera Left yellow angle = Right yellow angle , y dibuja Yellow line.

Porque Left blue angle = Right blue angle (const.)
y Left blue angle = Black angle (L. 3. pr. 32)
∴ Black angle = Right blue angle ; también
Outlined angle angle = Right yellow angle por la misma razón.
∴ Left red angle = Right red angle (L. 1. pr. 32.),

y por lo tanto el triángulo inscrito en el círculo es equiangular al triángulo dado.

Q. E. D.

Proposición III. Problema.

Proposición 3 figura

Sobre un círculo dado Red circle para circunscribir un triángulo equiangular a un triángulo dado.

Prolonga cualquier lado Black line, del triángulo dado en ambos sentidos; desde el centro del círculo dado dibuja Red line, cualquier radio.

Haz Right yellow angle = Left yellow angle (L. 1. pr. 23.) y Right blue angle = Left blue angle .
En los extremos de los tres radios, dibuja Blue line, Yellow line y Red dotted line, tangentes al círculo dado. (L. 3. pr. 17.)

Los cuatro ángulos Quadrilateral , tomados juntos, son iguales a cuatro ángulos rectos. (L. 1. pr. 32.)
pero Bottom right black angle y Top right black angle son ángulos rectos (const.)
∴ Right red angle + Right yellow angle = Two right angles , dos ángulos rectos
pero Left yellow and red angles = Two right angles (L. 1. pr. 13.)
y Right yellow angle = Left yellow angle (const.)
y ∴ Right red angle = Left red angle .

En la misma manera puede ser demostrado que
Right outlined angle = Left outlined angle ;
∴ Right red, black, and blue angles = Left red, black, and blue angles (L. 1. pr. 32.)
y por lo tanto el triángulo circunscrito sobre el círculo dado es equiangular al triángulo dado.

Q. E. D.

Proposición IV. Problema.

Proposición 4 figura

En un triángulo dado Outer triangle para inscribir un círculo.

Biseca Blue and yellow angles y Black and outlined angles (L. 1. pr. 9.) por Blue dotted line y Blue line; desde el punto donde estas líneas se unen dibuja Black dotted line, Yellow dotted line y Red dotted line perpendiculares a Black line, Yellow line y Red line respectivamente.

En Bottom left triangle y Top left triangle
Yellow angle = Blue angle , Bottom red angle = Top red angle y Blue dotted line común,
∴ Yellow dotted line = Black dotted line (L. 1. pr. 4 y 26.)

De igual manera, se puede mostrar también
que Red dotted line = Black dotted line,
∴ Black dotted line = Yellow dotted line = Red dotted line;
por lo tanto, con cualquiera de estas líneas como radio, traza Black circle

y pasará por las extremos de los otros dos; y los lados del triángulo dado, que son perpendiculares a los tres radios en sus extremos, tocan el círculo (L. 3. pr. 16.), que por lo tanto está inscrito en el triángulo dado.

Q. E. D.

Proposición V. Problema.

Proposición 5 figura
Proposición 5 figura
Proposición 5 figura

Para trazar un círculo sobre un triángulo dado.

Haz Blue line = Blue dotted line y Red line = Red dotted line (L. 1. pr. 10.) Desde los puntos de bisección dibuja Yellow line y Yellow dotted line ⊥ Blue line y Red line respectivamente (L. 1. pr. 11.), y desde su punto de concurrencia dibuja Black line, Black dotted line y Black thin line y traza un círculo con cualquiera de ellos, y será el círculo requerido.

En Triangle with black angle y Triangle with red angle
Blue dotted line = Blue line (const.),
Yellow line común,
Black angle = Red angle (const.),
∴ Black line = Black dotted line (L. 1. pr. 4.).

De igual manera se puede demostrar que
Black thin line = Black dotted line.

∴ Black dotted line = Black line = Black thin line; y, por lo tanto, un círculo descrito desde la concurrencia de estas tres líneas con cualquiera de ellas como un radio circunscribirá el triángulo dado.

Q. E. D.

Proposición VI. Problema.

Proposición 6 figura

Ee un círculo dado Red circle para inscribir un cuadrado.

Dibuja los dos diámetros del círculo ⊥ entre sí y dibuja Yellow line, Black line, Red line y Blue line

Square es un cuadrado.

Porque desde Yellow angle y Black angle son, cada uno de ellos, en un semicírculo, ángulos rectos (L. 3. pr. 31),
∴ Blue line ∥ Black line (L. 1. pr. 28):
y de la misma manera Red line ∥ Yellow line.

Y porque Blue angle = Red angle (const.), y
Red dotted line = Black dotted line = Blue dotted line (L. 1. def. 15).
∴ Black line = Red line (L. 1. pr. 4);

y ya que los lados y ángulos adyacentes del paralelogramo Square son iguales, ellos son todos iguales (L. 1. pr. 34); y ∴ Square , inscrito en el círculo dado, es un cuadrado.

Q. E. D.

Proposición VII. Problema.

Proposición 7 figura

Sobre un círculo dado Blue circle para circunscribir un cuadrado.

Dibuja dos diámetros del círculo dado perpendicularmente entre sí, y a través de sus extremos dibuja Blue line, Red line, Black line, y Yellow line tangentes al círculo;

y Square es un cuadrado.

Yellow angle = Right angle un ángulo recto (L. 3. pr. 18.)
también Black angle = Right angle (const.),

∴ Blue line ∥ Blue dotted line; de la misma manera se puede demostrar que Black line ∥ Blue dotted line, y también que Red line y Yellow line ∥ Red dotted line;

∴ Square es un paralelogramo, y
porque Yellow angle = Top left red angle = Top right red angle = Bottom right red angle = Bottom left red angle
todos ellos son ángulos rectos (L. 1. pr. 34):
también es evidente que Blue line, Red line, Black line y Yellow line son iguales.

∴ Square es un cuadrado.

Q. E. D.

Proposición VIII. Problema.

Proposición 8 figura

Para inscribir un círculo en un cuadrado dado.

Haz Blue line = Blue dotted line,
y Red line = Red dotted line,
dibuja Dotted yellow and yellow line ∥ Blue and dotted blue line ,
y Dotted black and black line ∥ Dotted red and red line
(L. 1. pr. 31.)

∴ Black square es un paralelogramo;
y ya que Blue and dotted blue line = Dotted red and red line (hip.)
Blue line = Red dotted line

∴ Black square es equilátero (L. 1. pr. 34.)

Del mismo modo, se puede demostrar que
Blue square = Red square son paralelogramos equiláteros;
∴ Black dotted line = Yellow dotted line = Black line = Yellow line,

y, por lo tanto, si se traza un círculo desde la concurrencia de estas líneas con cualquiera de ellas como radio, se inscribirá en el cuadrado dado. (L. 3. pr. 16.)

Q. E. D.

Proposición IX. Problema.

Proposición 9 figura

Para trazar un círculo sobre un cuadrado dado Red and yellow square .

Dibuja las diagonales Blue and dotted blue line y Black and dotted black line intersecándose entre ellas, luego

porque Red triangle y Yellow triangle tienen
sus lados iguales, y la base
Blue and dotted blue line común a ambos,
Yellow angle = Black angle (L. 1. pr. 8),
o Yellow and black angle es bisecado: de la misma manera se puede demostrar
que Red and blue angle es bisecado;
pero Yellow and black angle = Red and blue angle ,
por consiguiente Black angle = Red angle sus mitades,
∴ Black line = Blue line; (L. 1. pr. 6.)
y de la misma manera se puede demostrar que
Blue line = Black line = Black dotted line = Blue dotted line.

Si a partir de la confluencia de estas líneas con cualquiera de ellas como radio, se puede trazar un círculo, este circunscribirá el cuadrado dado.

Q. E. D.

Proposición X. Problema.

Proposición 10 figura

Para construir un triángulo isósceles, en el que cada uno de los ángulos en la base debe ser el doble del ángulo vertical.

Toma cualquier línea recta Black and dotted black line y divídela para que
Black and dotted black line × Black dotted line = Black line2 (L. 2. pr. 11.)

Con Black and dotted black line como radio, traza Red circle y coloca
en este desde los extremos del radio, Blue line = Black line, (L. 4. pr. 1.); dibuja Yellow line.

Entonces Large triangle es el triángulo requerido.

Para, dibujar Red line y trazar
Blue circle sobre Left triangle (L. 4. pr. 5.)

Desde Black and dotted black line × Black dotted line = Black line2 = Blue line2,
∴ Blue line es tangente a Blue circle (L. 3. pr. 37.)
∴ Yellow angle = Outlined angle (L. 3. pr. 32),
agrega Black angle a cada uno
∴ Yellow angle + Black angle = Outlined angle + Black angle ;
pero Black angle + Yellow angle o Black and yellow angle = Red angle (L. 1. pr. 5):
ya que Yellow line = Black and dotted black line (L. 1. pr. 5.)
consecuentemente Red angle = Outlined angle + Black angle = Blue angle (L. 1. pr. 32.)
∴ Red line = Blue line (L. 1. pr. 6.)
∴ Blue line = Black line = Red line (const.)
∴ Outlined angle = Black angle (L. 1. pr. 5.)

∴ Red angle = Black and yellow angle = Blue angle = Outlined angle + Black angle = dos veces Outlined angle ; y en consecuencia, cada ángulo en la base es el doble del ángulo vertical.

Q. E. D.

Proposición XI. Problema.

Proposición 11 figura

En un círculo dado Blue circle para inscribir un pentágono equilátero y equiangular.

Construye un triángulo isósceles, en el que cada uno de los ángulos en la base sea el doble del ángulo en el vértice, e inscribe en el círculo dado un triángulo Triangle equiangular a él; (L. 4. pr. 2.)

Biseca Yellow and blue angle y Outlined and red angle (L. 1. pr. 9.)
dibuja Red line, Blue line, Yellow line y Red dotted line.

Porque cada uno de los ángulos
Yellow angle , Blue angle , Black angle , Red angle y Outlined angle son iguales,

los arcos sobre los cuales se encuentran son iguales (L. 3. pr. 26.) y ∴ Black line, Red line, Blue line, Yellow line y Red dotted line que subtienden estos arcos son iguales (L. 3. pr. 29.) y ∴ el pentágono es equilátero, también es equiangular, ya que cada uno de sus ángulos se encuentra en arcos iguales. (L. 3. pr. 27).

Q. E. D.

Proposición XII. Problema.

Proposición 12 figura

Para trazar un pentágono equilátero y equiangular sobre un círculo dado Red circle.

Dibuja cinco tangentes a través de los vértices de los ángulos de cualquier pentágono regular inscrito en el círculo dado Red circle (L. 3. pr. 17).

Estas cinco tangentes formarán el pentágono requerido.

Dibuja { Red dotted line Blue line Black dotted line Yellow dotted line } . En Left triangle y Right triangle
Black line = Red line (L. 1. pr. 47),
Black dotted line = Red dotted line, y Blue line común;
∴ Right outlined angle = Left black angle y Left red angle = Yellow angle (L. 1. pr. 8.)
∴ Yellow outlined and black angle = dos veces Left black angle , y Red and yellow angle = dos veces Yellow angle ;

De la misma manera se puede demostrar que
Black outlined and black angle = dos veces Right black angle , y Blue and red angle = dos veces Blue angle ;
pero Red and yellow angle = Blue and red angle (L. 3. pr. 27),
∴ sus mitades Yellow angle = Blue angle , también Left blue outlined angle = Right blue outlined angle , y
Black dotted line común;

∴ Left black angle = Right black angle y Red line = Yellow line,
∴ Red and yellow line = dos veces Red line;
De la misma manera, se puede demostrar
que Black and dotted blue line = dos veces Black line,
pero Black line = Red line
∴ Black and dotted blue line = Red and yellow line ;

De la misma manera, se puede demostrar que los otros lados son iguales y, por lo tanto, el pentágono es equilátero, también es equiangular, porque

Black outlined and black angle = dos veces Right black angle and Yellow outlined and black angle = dos veces Left black angle ,
y por lo tanto Left black angle = Right black angle ,
∴ Black outlined and black angle = Yellow outlined and black angle ; de la misma manera se puede demostrar que los otros ángulos del pentágono trazado son iguales.

Q. E. D.

Proposición XIII. Problema.

Proposición 13 figura

Para inscribir un círculo en un pentágono equiangular y equilátero dado.

Sea Pentagon un pentágono equiangular y equilátero dado; se requiere inscribir un círculo en él.

Haz Left blue angle = Right blue angle , y Left red angle = Right red angle (L. 1. pr. 9.)

Dibuja Yellow dotted line, Black line, Red line, Red dotted line, etcétera.
Porque Black dotted and yellow line = Yellow and dotted black line , Left blue angle = Right blue angle ,
Black line común a los dos triángulos
Left big triangle y Right big triangle ;
∴ Red line = Yellow dotted line and Bottom yellow angle = Left red angle (L. 1. pr. 4.)

Y porque Yellow angle = Red angle = dos veces Left red angle
∴ = dos veces Bottom yellow angle , por consiguiente Yellow angle es bisecado por Red line.

De manera similar, puede demostrarse que Outlined angle está bisecado por Red dotted line, y que el ángulo restante del polígono está bisecado de manera similar.

Dibuja Blue line, Blue dotted line, etcetera, perpendiculares a los lados del pentágono.

Entonces en los dos triángulos Left small triangle y Right small triangle
tenemos Left blue angle = Right blue angle , (const.), Black line común,
y Left black angle = Right black angle = un ángulo recto;
∴ Blue line = Blue dotted line. (L. 1. pr. 26.)

Del mismo modo, se puede demostrar que los cinco perpendiculares a los lados del pentágono son iguales entre sí.

Traza Yellow circle on cualquiera de los perpendiculares como radio, y será el círculo inscrito requerido. Porque si no toca los lados del pentágono, pero los corta, entonces una línea dibujada desde el extremo en ángulo recto hasta el diámetro de un círculo caerá dentro del círculo, lo cual se ha demostrado que es absurdo. (L. 3. pr. 16.)

Q. E. D.

Proposición XIV. Problema.

Proposición 14 figura

Para trazar un círculo sobre un pentágono equilátero y equiangular dado.

Biseca Black and yellow angle y Yellow and red angle por Red dotted line y Blue dotted line,
y desde el punto de sección, dibuja Yellow line, Yellow dotted line, y Black line.

Black and yellow angle = Yellow and red angle ,
Left yellow angle = Right yellow angle , ∴ Blue dotted line = Red dotted line (L. 1. pr. 6);
y ya que en Left triangle y Right triangle ,
Blue line = Red line, y Red dotted line común,
también Black angle = Left yellow angle ;
∴ Black line = Blue dotted line (L. 1. pr. 4).

De igual manera se puede demostrar que
Yellow dotted line = Yellow line = Black line, y
por consiguiente Yellow dotted line = Black line = Red dotted line = Blue dotted line = Yellow line:

Por lo tanto, si se traza un círculo desde el punto donde estas cinco líneas se encuentran, con cualquiera de ellas como un radio, este circunscribirá el pentágono dado.

Q. E. D.

Proposición XV. Problema.

Proposición 15 figura

Para inscribir un hexágono equilátero y equiangular en un círculo dado Yellow circle.

Desde cualquier punto de la circunferencia del círculo dado, traza Red circle pasando por su centro y dibuja los diámetros Black line, Blue line y Yellow line; dibuja Black dotted line, Red dotted line, Blue dotted line, etcétera, y el hexágono requerido está inscrito en el círculo dado.

Ya que Black line pasa a través de los centros
de los círculos, Left triangle y Right triangle son triángulos
equiláteros, por lo tanto Red angle = Blue angle = un tercio de dos ángulos
rectos; (L. 1. pr. 32) pero Red, blue, and black angle = Two right angles (L. 1. pr. 13);

∴ Red angle = Blue angle = Black angle = un tercio de Two right angles (L. 1. pr. 32), y los ángulos verticalmente opuestos a estos son todos iguales entre sí (L. 1. pr. 15), y se colocan en arcos iguales (L. 3. pr. 26), que están subtendidos por cuerdas iguales (L. 3. pr. 29); y dado que cada uno de los ángulos del hexágono es el doble del ángulo de un triángulo equilátero, también es equiangular.

Q. E. D.

Proposición XVI. Problema.

Proposición 16 figura

Para inscribir un pentadecágono equilátero y equiangular en un círculo dado.

Sean Red line y Blue line los lados de un pentágono equilátero inscrito en el círculo dado, y Yellow line el lado de un triángulo equilátero inscrito.

El arco subtendido por Red line y Blue line } = 2 / 5 = 6 / 15 { de toda la circunferencia.

El arco subtendido por Yellow line } = 1 / 3 = 5 / 15 { de toda la circunferencia.

Su diferencia es = 1 / 15

∴ el arco subtendido por Black dotted line = 1 / 15 diferencia de toda la circunferencia.

Por lo tanto, si se colocan líneas rectas iguales a Black dotted line en el círculo (L. 4. pr. 1), el pentadecágono equilátero y equiangular se inscribirá en el círculo.

Q. E. D.

Libros.

  1. Libro I. Geometría básica plana
  2. Libro II. Álgebra geométrica
  3. Libro III. Círculos y ángulos
  4. Libro IV. Polígonos regulares
  5. Libro V. Razones y proporcioness
  6. Libro VI. Proporciones geométricas