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Libro II

Definición I.

Definición 1 figura

Se dice que un rectángulo o un paralelogramo en ángulo recto está contenido por cualquiera de sus dos lados adyacentes o contiguos.

Por lo tanto: el paralelogramo en ángulo recto Rectangle se dice que debe estar contenido por los lados Black line y Red line; o puede ser brevemente designado por Black line· Red line.

Si los lados adyacentes son iguales; por ejemplo, Black line = Red line, entonces Black line · Red line que es la expresión del rectángulo bajo Black line y Red line es un cuadrado, y

es igual a { Black line · Red line o Red line2 Black line · Red line o Black line2

Definición II.

Definición 2 figura

En un paralelogramo, la figura compuesta por uno de los paralelogramos sobre la diagonal, junto con los dos complementos, se llama Gnomon.

Así Blue and yellow parallelograms y Red and yellow parallelograms se llaman Gnomons.

Proposición I. Problema.

Proposición 1 figura

El rectángulo contenido por dos líneas rectas, una de las cuales está dividida en cualquier número de partes, Blue, red, and yellow lines · Black line = { Black line · Blue line +Black line · Red line +Black line · Yellow line es igual a la suma de los rectángulos contenidos por la línea no dividida y las varias partes de la línea dividida.

Dibuja Black line ⊥ Blue, red, and yellow lines y = Black line (prs. 2. y 3. L. 1.); completa los paralelogramos, es decir,

Dibuja { Blue, red, and yellow dotted lines ∥ Blue, red, and yellow lines Black dotted lines ∥ Black line } (pr. 31. L. 1.)

Yellow, blue, and red rectangles = Yellow rectangle + Blue rectangle + Red rectangle
Yellow, blue, and red rectangles = Blue, red, and yellow lines · Black line
Yellow rectangle = Blue line · Black line, Blue rectangle = Red line · Black line,
Red rectangle = Yellow line · Black line

∴ Blue, red, and yellow lines · Black line = Blue line · Black line + Red line · Black line + Yellow line · Black line.

Q. E. D.

Proposición II. Teorema.

Proposición 2 figura

Si una línea recta se divide en dos partes Blue and red lines , el cuadrado de la línea completa es igual a la suma de los rectángulos contenidos por la línea completa y cada una de sus partes. Blue and red lines 2 = { Blue and red lines · Blue line + Blue and red lines · Red line

Traza Yellow and red rectangles (L. 1. pr. 46.)
Dibuja Black line paralela a Black dotted line (L. 1. pr. 31.)
Yellow and red rectangles = Blue and red lines 2
Red rectangle = Black line · Blue line = Blue and red lines · Blue line
Yellow rectangle = Black line · Red line = Blue and red lines · Red line
Yellow and red rectangles = Red rectangle + Yellow rectangle
∴ Blue and red lines 2 = Blue and red lines · Blue line + Blue and red lines · Red line.

Q. E. D.

Proposición III. Teorema.

Proposición 3 figura

Si una línea recta se divide en dos partes Blue and red lines , el rectángulo contenido por la línea completa y cualquiera de sus partes es igual al cuadrado de esa parte, junto con el rectángulo bajo las partes.

Blue and red lines · Blue line = Blue line2 + Blue line · Red line, o, Blue and red lines · Red line = Red line2 + Blue line · Red line.

Traza Red rectangle (pr. 46, L. 1.)

Completa Yellow rectangle (pr. 31, L. 1.)

Entonces Red and yellow rectangles = Red rectangle + Yellow rectangle , pero
Red and yellow rectangles = Blue and red lines · Blue line y
Red rectangle = Blue line2, Yellow rectangle = Blue line · Red line,
∴ Blue and red lines · Blue line = Blue line2 + Blue line · Red line:

De manera similar, se puede demostrar fácilmente que Blue and red lines · Red line = Red line2 + Blue line · Red line.

Q. E. D.

Proposición IV. Teorema.

Proposición 4 figura

Si una línea recta se divide en dos partes Bottom blue and red lines , el cuadrado de la línea completa es igual a los cuadrados de las partes, junto con el doble del rectángulo contenido por las partes.

Bottom blue and red lines 2 = Blue line2 + Red line2 + dos veces Blue line · Red line.

Traza Bottom and right sides of square from blue and red lines (pr. 46, L. 1.)
dibuja Diagonal black and dotted black lines (post. 1.),
y { Vertical blue and dotted black lines ∥ Bottom blue and red lines Horizontal red and dotted red lines ∥ Right blue and red lines } (pr. 31, L. 1.)

Blue angle = Yellow angle (pr. 5, L. 1.),

Blue angle = Red angle (pr. 29, L. 1.)

∴ Yellow angle = Red angle

∴ por (prs. 6, 29, 34. L. 1.) Blue square with triangle es un cuadrado = Blue line2.

Por las mismas razones Red square with triangle es un cuadrado = Red line2,
Top yellow rectangle = Bottom yellow rectangle = Blue line · Red line (pr. 43. L. 1.)
pero Blue square, red square, and yellow rectangles = Blue square with triangle + Top yellow rectangle + Bottom yellow rectangle + Red square with triangle ,
∴ Bottom blue and red lines 2 = Blue line2 + Red line2 + dos veces Blue line · Red line.

Q. E. D.

Proposición V. Teorema.

Proposición 5 figura

Si una línea recta se divide Bottom red, blue, and yellow lines en dos partes iguales y también Bottom red, blue, and yellow lines en dos partes desiguales, el rectángulo contenido por las partes desiguales, junto con el cuadrado de la línea entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la mitad de esa línea.

Red line · Bottom blue and yellow lines + Blue line2 = Yellow line2 = Red and blue lines 2,

traza Blue, red, and yellow rectangles (pr. 46, L. 1.), dibuja Black line y { Red and dotted black line ∥ Red and dotted blue lines Dotted black and yellow lines ∥ Bottom red, blue, and yellow lines Red dotted line ∥ Red and dotted blue lines } (pr. 31, L. 1.)

Black rectangle = Blue and bottom yellow rectangles (p. 36, L. 1.)

Top yellow rectangle = Bottom yellow rectangle (p. 43, L. 1.)

∴ (ax. 2.) Lower left gnomon rectangles = Black, red, and bottom yellow rectangles = Bottom blue and yellow lines · Red line
pero Red rectangle = Blue line2 (cor. pr. 4. L. 2.)
y Blue, red, and yellow rectangles = Red and blue lines 2 (const.)

∴ (ax. 2.) Blue, red, and yellow rectangles = Red, black, and bottom yellow rectangles
∴ Red line · Bottom blue and yellow lines + Blue line2 =
Yellow line2 = Red and blue lines 2.

Q. E. D.

Proposición VI. Teorema.

Proposición 6 figura

Si una línea recta se biseca Blue and yellow lines y se prolonga en cualquier punto Red, blue, and yellow lines , el rectángulo contenido por toda la línea aumenta así, y la parte prolongada, junto con el cuadrado de la mitad de la línea, es igual al cuadrado de la línea formada por la mitad, y la parte prolongada.

Red, blue, and yellow lines · Red line + Blue line2 = Red and blue lines 2.

Traza Yellow rectangles and red and blue squares (pr. 46, L. 1.), dibuja Black line
y { Red and dotted blue lines ∥ Red and dotted black lines Dotted black line and yellow line ∥ Red, blue, and yellow lines Red dotted line ∥ Red and dotted black lines } (pr. 31, L. 1.)

Top yellow rectangle = Bottom yellow rectangle = Black rectangle (prs. 36, 43, L. 1.)

∴ Lower left gnomon = Blue, yellow, and black rectangles = Red line · Red, blue, and yellow lines ;
Red rectangle = Blue line2 (cor. 4, L. 2.)

∴ Yellow rectangles and red and blue squares = Red and blue lines 2 = Blue and red squares and yellow and black rectangles (const. ax. 2.)

∴ Red, blue, and yellow lines · Red line + Blue line2 = Red and blue lines 2.

Q. E. D.

Proposición VII. Teorema.

Proposición 7 figura

Si una línea recta se divide en dos partes Bottom blue and red lines , los cuadrados de la línea completa y una de las partes son iguales al doble del rectángulo contenido por la línea completa y esa parte, junto con el cuadrado de las otras partes.

Bottom blue and red lines 2 + Red line2 = 2 Bottom blue and red lines · Red line + Blue line2

Traza All rectangles and squares , (pr. 46, L. 1.).

Dibuja Black line (post. 1.), and { Right blue and black dotted lines ∥ Yellow line Top dotted black and red lines ∥ Bottom blue and red lines } (pr. 31, L. 1.).

Yellow rectangle = Black rectangle (pr. 43, L. 1.),
agrega Blue rectangle = Red line2 a ambas (cor. 4, L. 2.)

Yellow rectangle and blue square = Blue square and black rectangle = Bottom blue and red lines · Red line
Red rectangle = Blue line2 (cor. 4, L. 2.)

∴ Yellow rectangle and blue square + Blue square and black rectangle + Red rectangle = 2 Bottom blue and red lines · Red line + Blue line2 = All rectangles and squares + Blue rectangle ;

∴ Bottom blue and red lines 2 + Red line2 = 2 Bottom blue and red lines · Red line + Blue line2.

Q. E. D.

Proposición VIII. Teorema.

Proposición 8 figura

Si una línea recta se divide en dos partes Blue and red line , el cuadrado de la suma de la línea completa y cualquiera de sus partes es igual a cuatro veces el rectángulo contenido por la línea completa, y esa parte junto con el cuadrado de la otra parte.

Blue, red, and yellow line 2 = 4 · Blue and red line · Red line + Blue line2,

Prolonga Blue and red line y haz Yellow line = Red line

Construye All lines (pr. 46, L. 1.);
dibuja Black line, Blue and dotted blue line Blue and dotted black line } ∥ Blue, red, and yellow line Dotted black and red line Dotted and solid red line } ∥ Blue, red, and yellow line } (pr. 31, L. 1.) Blue, red, and yellow line 2 = Yellow line2 + Blue and red line 2 + 2 · Blue and red line · Yellow line (pr. 4, L. II.)
but Red line2 + Blue and red line 2 = 2 · Blue and red line · Red line + Blue line2 (pr. 7, L. II.)
∴ Blue, red, and yellow line 2 = 4 · Blue and red line · Red line + Blue line2.

Q. E. D.

Proposición IX. Teorema.

Proposición 9 figura

Si una línea recta se divide en dos partes iguales Blue and red/yellow lines , y también en dos partes desiguales Blue/yellow and red lines , los cuadrados de las partes desiguales son juntos el doble de los cuadrados de la mitad de la línea y de la parte entre los puntos de sección.

Blue and yellow lines 2 + Red line2 = 2Blue line2 + 2Yellow line2.

Haz Blue and dotted blue lines ⊥ y = Blue line o Yellow and red lines ,
Dibuja Black dotted line y Dotted yellow and black lines ,
Red and dotted red lines ∥ Blue and dotted blue lines , Black and yellow lines ∥ Blue and yellow lines , y dibuja Black line.

Bottom yellow angle = Top yellow angle (pr. 5, L. 1.) = mitad de un ángulo recto. (cor. pr. 32, L. 1.)
Blue angle = Black angle (pr. 5, L. 1.) = mitad de un ángulo recto. (cor. pr. 32, L. 1.)
∴ Yellow and red angles = un ángulo recto.

Blue angle = Top red angle = Bottom red angle = Black angle (prs. 5, 29, L. 1.).
por lo tanto Red and dotted red lines = Red line, Blue dotted line = Black and yellow lines = Yellow line (prs. 6, 34, L. 1.)
Black line2 = { Blue and yellow lines 2 + Red and dotted red lines 2, o + Red line2 = { Black dotted line2 = 2Blue line2 (pr. 47, L. 1.) Black and dotted black lines 2 = 2Yellow line2 ∴ Blue and yellow lines 2 + Red line2 = 2Blue line2 + 2Yellow line2.

Q. E. D.

Proposición X. Teorema.

Proposición 10 figura

Si una línea recta Red and yellow line se biseca y prolonga en cualquier punto Red, yellow, and blue line , los cuadrados de toda la línea prolongada y de la parte prolongada son juntos el doble de los cuadrados de la media línea y de la línea formada por la mitad y la parte prolongada.

Red, yellow, and blue line 2 + Blue line2 = 2Yellow line2 + 2 Yellow and blue line 2.

Haz Black and red lines ⊥ y = a Red line o Yellow line,
dibuja Red and yellow line y Black and dotted black line ,
y { Red and dotted red line ∥ Black and red lines Yellow and dotted yellow line ∥ Yellow and blue line } (pr. 31, L. 1.); dibuja también Black line.

Black angle = Left yellow angle (pr. 5, L. 1.) = mitad de un ángulo recto (cor. pr. 32, L. 1.)
Left red angle = Right yellow angle (pr. 5, L. 1.) = mitad de un ángulo recto (cor. pr. 32, L. 1.)
∴ Yellow angles = un ángulo recto.
Right red angle = Left red angle = Right yellow angle = Left blue angle = Right blue angle =
la mitad de un ángulo recto (prs 5, 32, 29, 34, L. 1.),
y Blue line = Red dotted line, Yellow and blue line = Yellow and dotted yellow line = Red and dotted red line , (prs. 6, 34, L. 1.). Consiguiente por (pr. 47, L. 1.) Black line2 = { Red, yellow, and blue line 2 + Red dotted line2 or Blue line2 { + Red and yellow line 2 = 2Red line2 + Black and dotted black line 2 = 2 Yellow and dotted yellow line 2 ∴ Red, yellow, and blue line 2 + Blue line2 = 2Yellow line2 + 2 Yellow and blue line 2.

Q. E. D.

Proposición XI. Problem.

Proposición 11 figura

Para dividir una línea recta Red and dotted red line dada de tal manera, que el rectángulo contenido por la línea completa y una de sus partes puede ser igual al cuadrado de la otra.

Red and dotted red line · Red dotted line = Red line2.

Traza Yellow and blue square (pr. 46, L. 1.),
haz Blue line = Blue dotted line (pr. 10, L. 1.),
dibuja Black line,
toma Blue and yellow line = Black line (pr. 3, L. 1.),
en Yellow line describe Blue square (pr. 46, L. 1.),

Prolonga Black dotted line (post. 2.).

Entonces, (pr. 6, L. 2.) Blue dotted, blue, and yellow line · Yellow line + Blue line2 = Blue and yellow line 2 = Black line2 = Red and dotted red line 2 + Blue line2 ∴ Blue dotted, blue, and yellow line · Yellow line = Red and dotted red line 2, o,
Yellow rectangle and blue square = Yellow and blue square ∴ Blue square = Blue rectangle ∴
Red and dotted red line · Red dotted line = Red line2.

Q. E. D.

Proposición XII. Problem.

Proposición 12 figura

En cualquier triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo obtuso excede la suma de los cuadrados de los lados que contienen el ángulo obtuso, el doble del rectángulo contenido por cualquiera de estos lados y las partes prolongadas del mismo desde el ángulo obtuso a la perpendicular deja caer sobre él desde el ángulo agudo opuesto.

Blue line2 > Black line2 + Red line2 by 2Black line · Black dotted line.

Por pr. 4, L. 2.
Black and dotted black line 2 = Black line2 + Black dotted line2 + 2Black line · Black dotted line:
agrega Yellow line2 a ambas
Black and dotted black line 2 + Yellow line2 = Blue line2 (pr. 7, L. 1.) = 2 · Black line · Black dotted line + Black line2 + { Black dotted line2 Yellow line2 } o + Red line2 (pr. 47, L. 1.). Por lo tanto, Blue line2 = 2 · Black line · Black dotted line + Black line2 + Red line2: por consiguiente Blue line2 > Red line2 + Black line2 por 2 · Black line · Black dotted line.

Q. E. D.

Proposición XIII. Problem.

Proposición 13 figura Primero Segundo

En cualquier triángulo, el cuadrado del lado que sostiene un ángulo agudo, es menor que la suma de los cuadrados de los lados que contienen ese ángulo, el doble del rectángulo contenido por cualquiera de estos lados, y la parte del mismo interceptada entre el pie de la perpendicular se deja caer desde el ángulo opuesto y el punto angular del ángulo agudo.

Primero.

Blue line2 < Black and dotted black line 2 + Red line2 por 2 · Black and dotted black line · Black line.

Segundo.

Blue line2 < Red line2 + Black line2 por 2 · Black line · Black and dotted black line .

Primero, supongamos que la perpendicular cae dentro del triángulo, luego (pr. 7, L. 2.)
Black and dotted black line 2 + Black line2 = 2 · Black and dotted black line · Black line + Black dotted line2,
agrega a cada uno Yellow line2 entonces,
Black and dotted black line 2 + Black line2 + Yellow line2 = 2 · Black and dotted black line · Black line + Black dotted line2 + Yellow line2
∴ (pr. 47, L. 1.)
Black and dotted black line 2 + Red line2 = 2 · Black and dotted black line · Black line + Blue line2, and ∴ Blue line2 < Black and dotted black line 2 + Red line2 by 2 · Black and dotted black line · Black line.

Luego suponga que la perpendicular cae fuera del triángulo, luego (pr. 7, L. 2.)
Black and dotted black line 2 + Black line2 = 2 · Black and dotted black line · Black line + Black dotted line2,
agrega a cada uno Yellow line2 entonces
Black and dotted black line 2 + Yellow line2 + Black line2 = 2 · Black line · Black line + Black dotted line2 + Yellow line2 ∴ (pr. 47, L. 1.),
Red line2 + Black line2 = 2 · Black and dotted black line · Black line + Blue line2, ∴ Blue line2 < Red line2 + Black line2 por 2 · Black and dotted black line · Black line.

Q. E. D.

Proposición XIV. Problema.

Proposición 14 figura

Dibujar una línea recta cuyo cuadrado sea igual a una figura rectilínea dada.
Para dibujar Blue line tal que Blue line2 = Rectilinear figure

Haz Rectangle = Rectilinear figure (pr. 45, L. 1.),
prolonga Dotted blue and black solid line hasta Black dotted line = Yellow line;
toma Black and blue dotted line = Black line (pr. 10, L. 1.),

Traza Semicircle (post. 3.),
y prolonga Yellow line para encontrarlo: dibuja Red line.
Black line2 o Red line2 = Black dotted line · Dotted blue and black solid line + Blue dotted line2 (pr. 5, L. 2.),
por Red line2 = Blue line2 + Blue dotted line2 (pr. 47, L. 1.);
∴ Blue line2 + Blue dotted line2 = Black dotted line · Dotted blue and black solid line + Blue dotted line2
∴ Blue line2 = Black dotted line · Dotted blue and black solid line , y
∴ Blue line2 = Rectangle = Rectilinear figure

Q. E. D.

Libros.

  1. Libro I. Geometría básica plana
  2. Libro II. Álgebra geométrica
  3. Libro III. Círculos y ángulos
  4. Libro IV. Polígonos regulares
  5. Libro V. Razones y proporcioness
  6. Libro VI. Proporciones geométricas